Номер 351, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

351. *Простейшим устройством, позволяющим получить оптическое изображение предмета, является камера-обскура, представляющая собой светонепроницаемый ящик с небольшим отверстием в одной из стенок и белым экраном на противоположной стенке. Световые лучи от объекта, проходя через отверстие, создают перевернутое изображение на экране. На рисунке 85 представлена фотография Национальной библиотеки, полученная с помощью фотоаппарата, в котором вместо объектива установлена пластина с отверстием диаметром $d = 0,3$ мм. Ширина фотоматрицы $l = 23,5$ мм, расстояние между фотоматрицей и отверстием $h = 50$ мм. Определите:

а) выполнив необходимые измерения по фотографии, на каком расстоянии от библиотеки находился фотоаппарат, если ширина здания $L = 85$ м;

б) при каком наибольшем расстоянии между двумя лампочками на здании библиотеки их изображения на фотоматрице еще будут сливаться.

Рис. 85

Дано:

Диаметр отверстия: $d = 0,3$ мм
Ширина фотоматрицы: $l = 23,5$ мм
Расстояние от фотоматрицы до отверстия: $h = 50$ мм
Ширина здания: $L = 85$ м

Перевод в СИ:

$d = 0,3 \cdot 10^{-3}$ м
$l = 23,5 \cdot 10^{-3}$ м
$h = 50 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

а) $H$ — расстояние от фотоаппарата до библиотеки.
б) $\Delta L$ — наибольшее расстояние между двумя лампочками, при котором их изображения сливаются.

Решение:

а)

Камера-обскура создает перевернутое изображение на основе принципа прямолинейного распространения света. Объект и его изображение образуют два подобных треугольника с общей вершиной в центре отверстия.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$ \frac{L}{H} = \frac{L_{img}}{h} $

где $L$ — реальная ширина здания, $H$ — расстояние от фотоаппарата до здания, $L_{img}$ — ширина изображения здания на фотоматрице, $h$ — расстояние от отверстия до фотоматрицы (глубина камеры).

Для нахождения $H$ сначала нужно определить $L_{img}$. Для этого выполним измерения по предоставленной фотографии. Измерим ширину всей фотографии на рисунке ($l_{рис}$) и ширину изображения здания ($L_{рис}$). Соотношение этих размеров будет таким же, как соотношение реальной ширины изображения на матрице ($L_{img}$) к ширине всей матрицы ($l$).

При измерении линейкой на рисунке получаем (значения могут незначительно отличаться, но их соотношение будет примерно одинаковым): ширина фотографии $l_{рис} \approx 75$ мм, ширина изображения здания $L_{рис} \approx 21$ мм.

Найдем реальный размер изображения на матрице из пропорции:

$ L_{img} = l \cdot \frac{L_{рис}}{l_{рис}} = 23,5 \text{ мм} \cdot \frac{21 \text{ мм}}{75 \text{ мм}} = 6,58 \text{ мм} $

Теперь, зная $L_{img}$, можем найти расстояние до библиотеки $H$:

$ H = L \cdot \frac{h}{L_{img}} = 85 \text{ м} \cdot \frac{50 \text{ мм}}{6,58 \text{ мм}} \approx 646 \text{ м} $

Ответ: расстояние от библиотеки до фотоаппарата составляет примерно 646 м.

б)

Изображения двух близко расположенных точечных источников света (лампочек) будут сливаться, если расстояние между центрами их изображений на фотоматрице будет меньше или равно размеру изображения одного такого источника. В камере-обскуре размер изображения точечного источника (пятна нерезкости) в приближении геометрической оптики принимается равным диаметру отверстия $d$.

Следовательно, предельное условие, при котором изображения еще сливаются, — это когда расстояние между их центрами $\Delta L_{img}$ равно $d$:

$ \Delta L_{img} = d = 0,3 \text{ мм} $

Используем ту же формулу подобия треугольников для расстояния между лампочками $\Delta L$ и расстояния между их изображениями $\Delta L_{img}$:

$ \frac{\Delta L}{H} = \frac{\Delta L_{img}}{h} $

Отсюда выразим искомое расстояние $\Delta L$:

$ \Delta L = H \cdot \frac{\Delta L_{img}}{h} = H \cdot \frac{d}{h} $

Подставим числовые значения, используя найденное в пункте (а) расстояние $H$:

$ \Delta L = 646 \text{ м} \cdot \frac{0,3 \text{ мм}}{50 \text{ мм}} = 646 \text{ м} \cdot 0,006 \approx 3,88 \text{ м} $

Ответ: наибольшее расстояние между двумя лампочками, при котором их изображения на фотоматрице еще будут сливаться, составляет примерно 3,9 м.