Номер 345, страница 104 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

345. *На рисунке 82 изображена оптическая схема спектрометра. Щель спектрометра находится в фокальной плоскости линзы 1, а экран — в фокальной плоскости линзы 2. Период дифракционной решетки $d = 900$ нм. Исследуемым объектом является пламя газовой горелки, в которое поместили кристаллик поваренной соли. Пламя окрашено в желтый цвет, обусловленный тем, что атомы натрия излучают свет с длинами волн $\lambda_1 = 589,0$ нм, $\lambda_2 = 589,6$ нм. Определите расстояние между спектральными линиями на экране.

Дифракционная

Щель

Линза 1

решетка

Линза 2

Экран

Пламя

2 см

Рис. 82

Дано:

Период дифракционной решетки $d = 900$ нм

Длина волны первой линии натрия $\lambda_1 = 589,0$ нм

Длина волны второй линии натрия $\lambda_2 = 589,6$ нм

Из рисунка определяем фокусное расстояние линзы 2, в фокальной плоскости которой расположен экран. Расстояние от линзы 2 до экрана составляет 2 клетки. Масштаб одной клетки равен 2 см. Таким образом, фокусное расстояние $F = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4$ см.

Перевод в систему СИ:

$d = 900 \times 10^{-9}$ м

$\lambda_1 = 589,0 \times 10^{-9}$ м

$\lambda_2 = 589,6 \times 10^{-9}$ м

$F = 0,04$ м

Найти:

Расстояние между спектральными линиями на экране $\Delta x$.

Решение:

Условие для наблюдения максимумов дифракционной картины задается формулой дифракционной решетки:

$d \sin\theta = k \lambda$

где $d$ — период решетки, $\theta$ — угол дифракции, $k$ — порядок спектра, $\lambda$ — длина волны света. Будем рассматривать спектр первого порядка, то есть $k=1$.

Линза 2 фокусирует лучи, дифрагировавшие под углом $\theta$, на экране. Расстояние $x$ от центрального максимума (нулевого порядка) до спектральной линии на экране определяется соотношением:

$x = F \tan\theta$

Для каждой длины волны ($\lambda_1$ и $\lambda_2$) будет свой угол дифракции ($\theta_1$ и $\theta_2$) и, соответственно, свое положение на экране ($x_1$ и $x_2$).

1. Найдем синусы углов дифракции для каждой линии:

Для $\lambda_1$: $\sin\theta_1 = \frac{k\lambda_1}{d} = \frac{1 \cdot 589,0 \times 10^{-9}}{900 \times 10^{-9}} = \frac{589}{900} \approx 0,65444$

Для $\lambda_2$: $\sin\theta_2 = \frac{k\lambda_2}{d} = \frac{1 \cdot 589,6 \times 10^{-9}}{900 \times 10^{-9}} = \frac{589,6}{900} \approx 0,65511$

2. Так как полученные значения синусов не малы, приближение $\sin\theta \approx \tan\theta$ здесь неприменимо. Необходимо использовать точную формулу для тангенса, выразив его через синус: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$.

Вычислим тангенсы углов:

$\tan\theta_1 = \frac{0,65444}{\sqrt{1 - (0,65444)^2}} \approx \frac{0,65444}{\sqrt{1 - 0,42829}} = \frac{0,65444}{\sqrt{0,57171}} \approx \frac{0,65444}{0,75612} \approx 0,86553$

$\tan\theta_2 = \frac{0,65511}{\sqrt{1 - (0,65511)^2}} \approx \frac{0,65511}{\sqrt{1 - 0,42917}} = \frac{0,65511}{\sqrt{0,57083}} \approx \frac{0,65511}{0,75553} \approx 0,86711$

3. Теперь найдем положения линий на экране:

$x_1 = F \tan\theta_1 = 0,04 \text{ м} \cdot 0,86553 \approx 0,034621$ м

$x_2 = F \tan\theta_2 = 0,04 \text{ м} \cdot 0,86711 \approx 0,034684$ м

4. Расстояние между спектральными линиями на экране равно разности их положений:

$\Delta x = x_2 - x_1 = 0,034684 \text{ м} - 0,034621 \text{ м} = 0,000063$ м

Переведем результат в миллиметры: $\Delta x = 0,063$ мм.

Ответ: Расстояние между спектральными линиями на экране составляет примерно $0,063$ мм.