Номер 341, страница 103 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

341. На дифракционную решетку, период которой $d_1 = 1,2 \text{ мкм}$, падает нормально лазерный луч с длиной волны $\lambda = 500 \text{ нм}$. Непосредственно за решеткой установлена тонкая линза, в фокальной плоскости которой находится экран. На сколько увеличится на экране число дифракционных максимумов, если эту дифракционную решетку заменить другой решеткой, период которой $d_2 = 2,2 \text{ мкм}$? Изменится ли расстояние между максимумами?

Дано:

Период первой дифракционной решетки, $d_1 = 1,2$ мкм
Длина волны лазерного луча, $\lambda = 500$ нм
Период второй дифракционной решетки, $d_2 = 2,2$ мкм

Переведем данные в систему СИ:

$d_1 = 1,2 \times 10^{-6}$ м
$\lambda = 500 \times 10^{-9}$ м = $0,5 \times 10^{-6}$ м
$d_2 = 2,2 \times 10^{-6}$ м

Найти:

$\Delta N$ — на сколько увеличится число дифракционных максимумов.
Ответить на вопрос: изменится ли расстояние между максимумами?

Решение:

На сколько увеличится на экране число дифракционных максимумов, если эту дифракционную решетку заменить другой решеткой, период которой $d_2 = 2,2$ мкм?

Условие наблюдения дифракционного максимума $k$-го порядка для света, падающего нормально на решетку, описывается формулой дифракционной решетки:

$d \sin \varphi_k = k \lambda$

где $d$ — период решетки, $\varphi_k$ — угол дифракции, $\lambda$ — длина волны, $k$ — порядок максимума ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Максимумы будут наблюдаться только для тех порядков $k$, для которых $|\sin \varphi_k| \le 1$. Из формулы следует:

$|k| \le \frac{d}{\lambda}$

Максимальный порядок максимума $k_{max}$ — это наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Его можно найти как целую часть от отношения $\frac{d}{\lambda}$:

$k_{max} = \lfloor \frac{d}{\lambda} \rfloor$

Общее число наблюдаемых максимумов $N$ складывается из центрального максимума ($k=0$) и симметричных максимумов до $k_{max}$ с каждой стороны. Таким образом:

$N = 2k_{max} + 1$

1. Рассчитаем число максимумов для первой решетки ($d_1 = 1,2$ мкм):

$k_{max,1} = \lfloor \frac{d_1}{\lambda} \rfloor = \lfloor \frac{1,2 \times 10^{-6} \text{ м}}{0,5 \times 10^{-6} \text{ м}} \rfloor = \lfloor 2,4 \rfloor = 2$

Полное число максимумов для первой решетки:

$N_1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

2. Рассчитаем число максимумов для второй решетки ($d_2 = 2,2$ мкм):

$k_{max,2} = \lfloor \frac{d_2}{\lambda} \rfloor = \lfloor \frac{2,2 \times 10^{-6} \text{ м}}{0,5 \times 10^{-6} \text{ м}} \rfloor = \lfloor 4,4 \rfloor = 4$

Полное число максимумов для второй решетки:

$N_2 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$

3. Найдем, на сколько увеличится число максимумов при замене решетки:

$\Delta N = N_2 - N_1 = 9 - 5 = 4$

Ответ: Число дифракционных максимумов увеличится на 4.

Изменится ли расстояние между максимумами?

Положение максимума $k$-го порядка на экране, который находится в фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием $F$, определяется как $x_k = F \tan \varphi_k$. Угол дифракции $\varphi_k$ находится из условия $\sin \varphi_k = \frac{k \lambda}{d}$.

Из этого соотношения видно, что угол дифракции $\varphi_k$ для максимума одного и того же порядка $k$ зависит от периода решетки $d$. Поскольку период второй решетки больше, чем первой ($d_2 > d_1$), то для любого $k \neq 0$ будет выполняться:

$\sin \varphi_{k,2} = \frac{k \lambda}{d_2} < \frac{k \lambda}{d_1} = \sin \varphi_{k,1}$

Так как для углов дифракции (от $0$ до $90^\circ$) функция синуса монотонно возрастает, то из $\sin \varphi_{k,2} < \sin \varphi_{k,1}$ следует, что $\varphi_{k,2} < \varphi_{k,1}$.

Углы дифракции для второй решетки меньше, чем для первой. Поскольку функция тангенса в том же диапазоне углов также монотонно возрастает, то и расстояние $x_k = F \tan \varphi_k$ от центрального максимума до любого другого будет меньше для второй решетки.

Это означает, что вся дифракционная картина при замене решетки на решетку с большим периодом "сожмется" к центру, а расстояние между соседними максимумами уменьшится.

Ответ: Да, расстояние между максимумами изменится, оно уменьшится.