Номер 340, страница 103 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

340. На дифракционную решетку, находящуюся в воздухе и имеющую $N = 5000$ штрихов на отрезке длиной $l = 1$ см, падает нормально параллельный пучок монохроматического света с периодом колебаний $T = 1,55 \cdot 10^{-15}$ с. Определите число дифракционных максимумов, направления на которые находятся в пределах угла $\beta = 60^{\circ}$. Биссектриса угла перпендикулярна плоскости решетки. Экран, на котором наблюдаются дифракционные максимумы, расположен перпендикулярно решетке.

Дано

$N = 5000$

$l = 1 \text{ см}$

$T = 1.55 \cdot 10^{-15} \text{ с}$

$\beta = 60^\circ$

$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$l = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$n$ — число дифракционных максимумов.

Решение

1. Определим период (постоянную) дифракционной решетки $d$. Это расстояние между двумя соседними штрихами. Оно равно общей длине отрезка $l$, деленной на число штрихов $N$.

$d = \frac{l}{N} = \frac{1 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{5000} = \frac{1 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^3} \text{ м} = 0.2 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}.$

2. Найдем длину волны монохроматического света $\lambda$. Длина волны связана с периодом колебаний $T$ и скоростью света в среде $c$ (для воздуха скорость света принимается равной скорости света в вакууме) соотношением:

$\lambda = c \cdot T = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 1.55 \cdot 10^{-15} \text{ с} = 4.65 \cdot 10^{-7} \text{ м}.$

3. Условие наблюдения главных дифракционных максимумов для решетки при нормальном падении света имеет вид:

$d \sin \phi_k = k \lambda,$

где $\phi_k$ — угол дифракции, соответствующий максимуму $k$-го порядка, $k$ — порядок максимума (целое число: $k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

4. Согласно условию задачи, нас интересуют максимумы в пределах угла $\beta = 60^\circ$. Биссектриса этого угла перпендикулярна плоскости решетки, что означает, что угол отсчитывается симметрично относительно нормали (направления центрального максимума, $k=0$). Таким образом, максимальный угол дифракции, который мы рассматриваем, составляет половину от общего угла $\beta$.

$\phi_{max} = \frac{\beta}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.$

5. Найдем максимальный порядок $k_{max}$, который можно наблюдать в пределах этого угла. Максимумы будут видны, если угол дифракции $\phi_k$ для них по модулю не превышает $\phi_{max}$.

$|\phi_k| \le \phi_{max}$

Поскольку функция синуса является возрастающей для углов от $-90^\circ$ до $90^\circ$, это эквивалентно условию:

$|\sin \phi_k| \le \sin \phi_{max}$

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin \phi_k = \frac{k \lambda}{d}$ и подставим в неравенство:

$\left|\frac{k \lambda}{d}\right| \le \sin \phi_{max}$

$|k| \le \frac{d \sin \phi_{max}}{\lambda}$

6. Подставим числовые значения в полученное выражение:

$|k| \le \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot \sin 30^\circ}{4.65 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 0.5}{4.65 \cdot 10^{-7}} = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{4.65 \cdot 10^{-7}} = \frac{10}{4.65} \approx 2.15.$

7. Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, возможные значения $k$, удовлетворяющие условию $|k| \le 2.15$, это:

$k = -2, -1, 0, 1, 2.$

Таким образом, в заданном угловом диапазоне наблюдаются центральный максимум ($k=0$), два максимума первого порядка ($k=\pm1$) и два максимума второго порядка ($k=\pm2$).

Общее число максимумов $n$ равно количеству этих целочисленных значений $k$.

$n = 5.$

Ответ: 5.