Номер 343, страница 104 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

343. *На дифракционную решетку нормально падает параллельный световой пучок, длины волн которого заключены в пределах $\lambda_{\min} = 400$ нм — $\lambda_{\max} = 500$ нм. Перекрываются ли дифракционные спектры различных порядков, если период дифракционной решетки:
a) $d_1 = 2$ мкм;
б) $d_2 = 3$ мкм?

Дано:

$ \lambda_{min} = 400 \text{ нм} $

$ \lambda_{max} = 500 \text{ нм} $

$ d_1 = 2 \text{ мкм} $

$ d_2 = 3 \text{ мкм} $

В системе СИ:

$ \lambda_{min} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

$ \lambda_{max} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

$ d_1 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м} $

$ d_2 = 3 \cdot 10^{-6} \text{ м} $

Найти:

Перекрываются ли дифракционные спектры различных порядков для решеток с периодами $d_1$ и $d_2$?

Решение:

Условие максимумов дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin\phi = k \lambda$

где $d$ — период решетки, $\phi$ — угол дифракции, $k$ — порядок спектра ($k=1, 2, 3, \ldots$), $\lambda$ — длина волны света.

Спектр $k$-го порядка для заданного диапазона длин волн будет наблюдаться в интервале углов от $\phi_{k, min}$ (для $\lambda_{min}$) до $\phi_{k, max}$ (для $\lambda_{max}$).

Перекрытие спектров соседних порядков $k$ и $k+1$ произойдет, если угол дифракции для максимальной длины волны в спектре $k$-го порядка будет больше или равен углу дифракции для минимальной длины волны в спектре $(k+1)$-го порядка. Математически это условие записывается как:

$\phi_{k, max} \ge \phi_{k+1, min}$

Поскольку функция $\sin\phi$ является возрастающей на интервале от 0 до 90°, это неравенство эквивалентно следующему:

$\sin\phi_{k, max} \ge \sin\phi_{k+1, min}$

Подставим формулу для дифракционной решетки:

$\frac{k \lambda_{max}}{d} \ge \frac{(k+1) \lambda_{min}}{d}$

Это условие не зависит от периода решетки $d$:

$k \lambda_{max} \ge (k+1) \lambda_{min}$

Решим это неравенство относительно $k$:

$k \lambda_{max} \ge k \lambda_{min} + \lambda_{min}$

$k (\lambda_{max} - \lambda_{min}) \ge \lambda_{min}$

$k \ge \frac{\lambda_{min}}{\lambda_{max} - \lambda_{min}}$

Подставим численные значения:

$k \ge \frac{400 \text{ нм}}{500 \text{ нм} - 400 \text{ нм}} = \frac{400}{100} = 4$

Таким образом, перекрытие спектров начнется между 4-м и 5-м порядками. Теперь необходимо проверить, наблюдаются ли эти порядки для каждой из решеток.

Максимальный порядок спектра $k_{max}$ ограничен условием $\sin\phi \le 1$, то есть $k \lambda / d \le 1$, откуда $k \le d / \lambda$.

а)

Для решетки с периодом $d_1 = 2 \text{ мкм} = 2000 \text{ нм}$.

Определим максимальный порядок спектра, который в принципе можно наблюдать с этой решеткой:

$k_{max} \le \frac{d_1}{\lambda_{min}} = \frac{2000 \text{ нм}}{400 \text{ нм}} = 5$

Это означает, что можно наблюдать спектры до 5-го порядка включительно. Следовательно, возможно перекрытие между 4-м и 5-м порядками.

Проверим условие перекрытия для $k=4$:

Синус угла для конца спектра 4-го порядка ($\lambda_{max} = 500 \text{ нм}$):

$\sin\phi_{4, max} = \frac{4 \cdot \lambda_{max}}{d_1} = \frac{4 \cdot 500 \text{ нм}}{2000 \text{ нм}} = 1$

Синус угла для начала спектра 5-го порядка ($\lambda_{min} = 400 \text{ нм}$):

$\sin\phi_{5, min} = \frac{5 \cdot \lambda_{min}}{d_1} = \frac{5 \cdot 400 \text{ нм}}{2000 \text{ нм}} = 1$

Так как $\sin\phi_{4, max} = \sin\phi_{5, min}$, красная граница спектра 4-го порядка совпадает с фиолетовой границей спектра 5-го порядка при угле 90°. Это означает, что спектры соприкасаются.

Ответ: да, спектры перекрываются (соприкасаются).

б)

Для решетки с периодом $d_2 = 3 \text{ мкм} = 3000 \text{ нм}$.

Определим максимальный порядок спектра:

$k_{max} \le \frac{d_2}{\lambda_{min}} = \frac{3000 \text{ нм}}{400 \text{ нм}} = 7.5$

Можно наблюдать спектры до 7-го порядка. Условие начала перекрытия ($k \ge 4$) остается тем же.

Проверим перекрытие между 4-м и 5-м порядками:

$\sin\phi_{4, max} = \frac{4 \cdot 500 \text{ нм}}{3000 \text{ нм}} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$

$\sin\phi_{5, min} = \frac{5 \cdot 400 \text{ нм}}{3000 \text{ нм}} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$

В этом случае спектры 4-го и 5-го порядков также соприкасаются.

Проверим перекрытие между 5-м и 6-м порядками ($k=5$):

Синус угла для конца спектра 5-го порядка ($\lambda_{max} = 500 \text{ нм}$):

$\sin\phi_{5, max} = \frac{5 \cdot 500 \text{ нм}}{3000 \text{ нм}} = \frac{2500}{3000} = \frac{5}{6}$

Синус угла для начала спектра 6-го порядка ($\lambda_{min} = 400 \text{ нм}$):

$\sin\phi_{6, min} = \frac{6 \cdot 400 \text{ нм}}{3000 \text{ нм}} = \frac{2400}{3000} = \frac{4}{5}$

Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{5}$. Приведя к общему знаменателю: $\frac{25}{30}$ и $\frac{24}{30}$.

Так как $\frac{25}{30} > \frac{24}{30}$, то $\sin\phi_{5, max} > \sin\phi_{6, min}$. Это означает, что красная область спектра 5-го порядка накладывается на фиолетовую область спектра 6-го порядка, то есть спектры перекрываются.

Ответ: да, спектры перекрываются.