Номер 339, страница 103 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

339. На дифракционную решетку с периодом $d = 3,0$ мкм, находящуюся в воздухе, нормально падает монохроматический свет с частотой $\nu = 4,0 \cdot 10^{14}$ Гц. Определите наибольший порядок дифракционного максимума, наблюдаемого на экране, и угол между направлением на него и нормалью к решетке.

Дано:

Период дифракционной решетки, $d = 3,0$ мкм

Частота монохроматического света, $\nu = 4,0 \cdot 10^{14}$ Гц

Скорость света в воздухе, $c \approx 3,0 \cdot 10^{8}$ м/с

Перевод в систему СИ:

$d = 3,0 \cdot 10^{-6}$ м

Найти:

$k_{max}$ — наибольший порядок дифракционного максимума

$\phi_{max}$ — угол между направлением на него и нормалью к решетке

Решение:

1. Вначале определим длину волны $\lambda$ падающего света, используя соотношение между скоростью света, частотой и длиной волны:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Подставим числовые значения:

$\lambda = \frac{3,0 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4,0 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} = 0,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

2. Условие наблюдения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решетку определяется формулой:

$d \sin\phi = k\lambda$

где $k$ — целое число, называемое порядком дифракционного максимума ($k = 0, \pm1, \pm2, ...$).

Наибольший порядок дифракционного максимума

Дифракционные максимумы могут наблюдаться только при условии, что синус угла дифракции не превышает 1, то есть $|\sin\phi| \le 1$.

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin\phi = \frac{k\lambda}{d}$.

Следовательно, для наблюдения максимума должно выполняться неравенство:

$\frac{k\lambda}{d} \le 1$, что эквивалентно $k \le \frac{d}{\lambda}$.

Найдем максимальное возможное значение $k$:

$k \le \frac{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = 4$

Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, наибольший наблюдаемый порядок $k_{max}$ равен 4.

Ответ: Наибольший порядок дифракционного максимума равен 4.

Угол между направлением на него и нормалью к решетке

Теперь найдем угол дифракции $\phi_{max}$, соответствующий максимуму наибольшего порядка $k_{max} = 4$. Для этого снова воспользуемся формулой дифракционной решетки:

$d \sin\phi_{max} = k_{max}\lambda$

Выразим синус искомого угла:

$\sin\phi_{max} = \frac{k_{max}\lambda}{d}$

Подставим значения:

$\sin\phi_{max} = \frac{4 \cdot 0,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{3,0 \cdot 10^{-6}}{3,0 \cdot 10^{-6}} = 1$

Отсюда находим сам угол:

$\phi_{max} = \arcsin(1) = 90^\circ$

Ответ: Угол, соответствующий наибольшему порядку максимума, равен $90^\circ$.