Номер 334, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

334. На дифракционную решетку нормально падает свет с длиной волны $\lambda = 550 \text{ нм}$. Непосредственно за решеткой находится тонкая линза с фокусным расстоянием $F = 2,0 \text{ м}$, в фокальной плоскости которой установлен экран. Определите период дифракционной решетки, если на экране расстояние между дифракционным максимумом нулевого и первого порядков $l = 11 \text{ см}$.

Дано

Длина волны света, $\lambda = 550 \text{ нм} = 550 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Фокусное расстояние линзы, $F = 2.0 \text{ м}$
Расстояние между нулевым и первым максимумами, $l = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

Найти:

Период дифракционной решетки, $d$.

Решение

Условие максимумов дифракционной решетки при нормальном падении света имеет вид:
$d \sin\varphi_k = k\lambda$
где $d$ — период решетки, $\varphi_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $k$ — порядок максимума ($k = 0, 1, 2, ...$), $\lambda$ — длина волны света.

Для нулевого максимума $k=0$, $\varphi_0 = 0$. Этот максимум находится в центре экрана.
Для максимума первого порядка $k=1$, условие принимает вид:
$d \sin\varphi_1 = \lambda$

Линза, расположенная за решеткой, фокусирует параллельные лучи, идущие под углом $\varphi_1$, в точку на экране, находящемся в фокальной плоскости. Расстояние $l$ от центрального максимума до максимума первого порядка связано с фокусным расстоянием $F$ и углом $\varphi_1$ через тангенс:
$\tan\varphi_1 = \frac{l}{F}$

В большинстве случаев углы дифракции малы, поэтому можно использовать приближение $\sin\varphi_1 \approx \tan\varphi_1$.
Проверим значение тангенса: $\tan\varphi_1 = \frac{0.11 \text{ м}}{2.0 \text{ м}} = 0.055$. Это значение достаточно мало, чтобы приближение было справедливым.

Приравняем $\sin\varphi_1$ и $\tan\varphi_1$:
$\sin\varphi_1 \approx \frac{l}{F}$

Подставим это выражение в условие максимума для первого порядка:
$d \frac{l}{F} = \lambda$

Отсюда выражаем период дифракционной решетки $d$:
$d = \frac{\lambda F}{l}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:
$d = \frac{550 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 2.0 \text{ м}}{0.11 \text{ м}} = \frac{1100 \cdot 10^{-9}}{0.11} \text{ м} = \frac{11 \cdot 10^{-7}}{11 \cdot 10^{-2}} \text{ м} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Ответ: период дифракционной решетки равен $1 \cdot 10^{-5}$ м (или 10 мкм).