Номер 335, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

335. На дифракционную решетку, на каждом миллиметре которой нанесено $N = 75$ штрихов, падает нормально лазерный луч света с длиной волны $\lambda = 500$ нм. На экране, удаленном от решетки на $L = 3,2$ м, видны светлые точки на равных расстояниях друг от друга. Определите:

а) на каком расстоянии друг от друга расположены эти точки;

б) каким станет расстояние между ними, если расстояние от дифракционной решетки до экрана увеличить на $\eta = 25$ %.

Дано:

$N = 75$ штрихов/мм, $\lambda = 500$ нм, $L = 3,2$ м, $\eta = 25$ %.

Перевод в систему СИ:
$N = 75 \text{ мм}^{-1} = 75 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1}$
$\lambda = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$\eta = 25 \% = 0.25$

Найти:

а) $\Delta x$ - ?
б) $\Delta x'$ - ?

Решение:

Условие для наблюдения дифракционных максимумов на решетке определяется формулой: $d \sin \varphi_k = k \lambda$, где $d$ — период решетки, $\varphi_k$ — угол дифракции для максимума $k$-го порядка, $k$ — порядок максимума ($k=0, 1, 2, ...$), а $\lambda$ — длина волны света.

Период решетки $d$ можно найти как величину, обратную числу штрихов на единицу длины $N$: $d = \frac{1}{N}$.

Положение $k$-го максимума на экране, удаленном на расстояние $L$, определяется как $x_k = L \tan \varphi_k$. В условии сказано, что светлые точки (максимумы) находятся на равных расстояниях друг от друга, что характерно для малых углов дифракции. Для малых углов справедливо приближение: $\sin \varphi_k \approx \tan \varphi_k$.

Тогда условие максимума можно записать как $d \tan \varphi_k \approx k \lambda$, откуда $\tan \varphi_k \approx \frac{k\lambda}{d}$.

Подставив это в формулу для координаты максимума, получим: $x_k \approx L \frac{k\lambda}{d}$.

Расстояние между двумя соседними максимумами (например, $k$-м и $(k+1)$-м) будет равно:

$\Delta x = x_{k+1} - x_k = L \frac{(k+1)\lambda}{d} - L \frac{k\lambda}{d} = L\frac{\lambda}{d}$.

Подставим $d=1/N$ в эту формулу: $\Delta x = L \lambda N$.

а) Рассчитаем расстояние между точками для исходных данных.

$\Delta x = 3.2 \text{ м} \cdot (5 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot (75 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1}) = 3.2 \cdot 5 \cdot 75 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 1200 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0.12 \text{ м}$.

Ответ: расстояние между точками равно 12 см.

б) Определим новое расстояние между точками, если расстояние до экрана $L$ увеличить на $\eta = 25 \%$.

Новое расстояние до экрана $L'$ равно:

$L' = L + L \cdot \eta = L(1 + \eta) = 3.2 \text{ м} \cdot (1 + 0.25) = 3.2 \text{ м} \cdot 1.25 = 4 \text{ м}$.

Новое расстояние между максимумами $\Delta x'$ можно найти по той же формуле, подставив $L'$:

$\Delta x' = L' \lambda N = 4 \text{ м} \cdot (5 \cdot 10^{-7} \text{ м}) \cdot (75 \cdot 10^3 \text{ м}^{-1}) = 4 \cdot 5 \cdot 75 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 1500 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0.15 \text{ м}$.

Ответ: расстояние станет равным 15 см.