Номер 333, страница 101 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

333. На дифракционную решетку, имеющую $N = 80$ штрихов на $l = 1 \text{ мм}$, нормально падает монохроматический свет. Определите длину волны света, если угол между направлениями на соседние дифракционные максимумы второго и третьего порядков $\varphi_{23} = 2^\circ30'$. Углы дифракции считать малыми.

Дано:

Число штрихов, $N = 80$
Длина решетки, $l = 1 \text{ мм}$
Угол между максимумами 2-го и 3-го порядков, $\phi_{23} = 2^\circ 30'$

$l = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$\phi_{23} = 2^\circ 30' = 2.5^\circ = 2.5 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0.04363 \text{ рад}$

Найти:

Длину волны света, $\lambda$

Решение:

Условие для наблюдения главного дифракционного максимума $k$-го порядка на дифракционной решетке описывается формулой:

$d \sin\theta_k = k\lambda$

где $d$ — период дифракционной решетки, $\theta_k$ — угол дифракции, соответствующий максимуму $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны света.

Период дифракционной решетки $d$ — это расстояние между соседними штрихами. Его можно рассчитать, разделив общую длину решетки $l$ на количество штрихов $N$:

$d = \frac{l}{N}$

В условии задачи указано, что углы дифракции малы. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение $\sin\theta \approx \theta$. С учетом этого приближения, формула для дифракционных максимумов принимает вид:

$d \theta_k \approx k\lambda$

Из этой формулы выразим углы для максимумов второго ($k=2$) и третьего ($k=3$) порядков:

$\theta_2 \approx \frac{2\lambda}{d}$

$\theta_3 \approx \frac{3\lambda}{d}$

Угол $\phi_{23}$ между направлениями на эти два соседних максимума равен разности соответствующих углов дифракции:

$\phi_{23} = \theta_3 - \theta_2$

Подставим выражения для $\theta_2$ и $\theta_3$:

$\phi_{23} \approx \frac{3\lambda}{d} - \frac{2\lambda}{d} = \frac{\lambda}{d}$

Теперь мы можем выразить искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda \approx d \cdot \phi_{23}$

Подставим в эту формулу выражение для периода решетки $d = l/N$:

$\lambda \approx \frac{l}{N} \cdot \phi_{23}$

Выполним расчет, подставив числовые значения в системе СИ (угол $\phi_{23}$ должен быть в радианах):

$\lambda \approx \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{80} \cdot 0.04363 \text{ рад}$

$\lambda \approx (1.25 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0.04363 \text{ рад} \approx 5.454 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Переведем полученное значение в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda \approx 5.454 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 545.4 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 545 \text{ нм}$

Ответ: длина волны света составляет примерно $545 \text{ нм}$.