Номер 326, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

326. *Между краями двух одинаковых отшлифованных плоских стеклянных пластинок помещена тонкая проволока диаметром $d = 0,06$ мм. Противоположные концы пластинок плотно прижаты друг к другу, образуя воздушный клин. Перпендикулярно поверхности пластинки, длина которой $l = 12$ см, падает монохроматический свет, в результате чего на пластинке наблюдаются интерференционные светлые полосы, расстояние между которыми $r = 0,6$ мм. Определите длину волны света, падающего на пластинку.

Дано

$d = 0,06 \text{ мм}$

$l = 12 \text{ см}$

$r = 0,6 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$d = 0,06 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

$l = 12 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,12 \text{ м}$

$r = 0,6 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Найти:

$λ$

Решение

Между двумя стеклянными пластинами образуется воздушный клин. Интерференционная картина возникает в результате сложения световых волн, отраженных от двух поверхностей: от нижней поверхности верхней пластины и от верхней поверхности нижней пластины. При отражении света от границы с оптически более плотной средой (от верхней поверхности нижней пластины) фаза волны меняется на $π$, что эквивалентно потере полуволны $λ/2$.

Условие образования интерференционных максимумов (светлых полос) имеет вид:

$Δ = 2h + \frac{λ}{2} = mλ$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Здесь $Δ$ — оптическая разность хода, $h$ — толщина воздушного зазора в месте наблюдения полосы, $λ$ — длина волны света, $m$ — порядок интерференционного максимума.

Из этого условия получаем: $2h = (m - \frac{1}{2})λ$. Для удобства можно использовать формулу $2h_m = (m + \frac{1}{2})λ$, где $m=0, 1, 2, ...$

Рассмотрим геометрию воздушного клина. Он представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $l$ (длина пластины) и $d$ (диаметр проволоки). Толщина воздушного зазора $h$ на расстоянии $x$ от линии соприкосновения пластин определяется из подобия треугольников:

$\frac{h}{x} = \frac{d}{l} \implies h = \frac{d \cdot x}{l}$

Подставим это выражение в условие максимума для m-ой светлой полосы, находящейся на расстоянии $x_m$:

$2 \frac{d \cdot x_m}{l} = (m + \frac{1}{2})λ$

Отсюда координата m-ой светлой полосы:

$x_m = \frac{(m + \frac{1}{2})λl}{2d}$

Координата следующей, $(m+1)$-ой светлой полосы:

$x_{m+1} = \frac{((m+1) + \frac{1}{2})λl}{2d}$

Расстояние между соседними светлыми полосами $r$ равно разности их координат:

$r = x_{m+1} - x_m = \frac{((m+1) + \frac{1}{2})λl}{2d} - \frac{(m + \frac{1}{2})λl}{2d} = \frac{λl}{2d}$

Из этой формулы выразим искомую длину волны $λ$:

$λ = \frac{2dr}{l}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$λ = \frac{2 \cdot (6 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot (6 \cdot 10^{-4} \text{ м})}{0,12 \text{ м}} = \frac{72 \cdot 10^{-9} \text{ м}^2}{0,12 \text{ м}} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Результат удобно представить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$λ = 600 \text{ нм}$

Ответ: $600 \text{ нм}$.