Номер 325, страница 99 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

325. *При освещении стеклянного клина с очень малым углом $ \gamma = 20'' $ монохроматическим светом с длиной волны $ \lambda = 628 $ нм, падающим перпендикулярно к его поверхности, на клине наблюдаются интерференционные полосы. Определите расстояние между двумя соседними светлыми полосами, если абсолютный показатель преломления стекла $ n = 1,50 $.

Дано:

$γ = 20''$

$λ = 628 \text{ нм}$

$n = 1,50$

Переведем данные в систему СИ:

Угол клина $γ$ в радианах: $γ = 20'' = 20 \cdot \frac{1}{3600} \text{ градуса} = \frac{1}{180} \text{ градуса}$.

$γ = \frac{1}{180} \cdot \frac{π}{180} \text{ рад} = \frac{π}{32400} \text{ рад} ≈ 9,7 \cdot 10^{-5} \text{ рад}$.

Длина волны света $λ$ в метрах: $λ = 628 \text{ нм} = 628 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.

Найти:

$Δx$ - расстояние между двумя соседними светлыми полосами.

Решение:

Интерференционные полосы возникают в результате сложения когерентных световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей стеклянного клина. Условием образования светлой полосы (максимума интерференции) является то, что оптическая разность хода $Δ$ двух лучей, отраженных от границ клина, равна целому числу длин волн.

Оптическая разность хода для лучей, падающих перпендикулярно на клин, определяется по формуле:

$Δ = 2dn + \frac{λ}{2}$

где $d$ – толщина клина в данном месте, $n$ – показатель преломления стекла. Слагаемое $\frac{λ}{2}$ учитывает потерю полуволны при отражении света от верхней поверхности клина (от границы воздух-стекло, то есть от оптически более плотной среды).

Условие максимума (светлой полосы) для m-ой полосы имеет вид:

$2d_m n + \frac{λ}{2} = mλ$, где $m$ - целое число (порядок максимума).

Отсюда $2d_m n = (m - \frac{1}{2})λ$.

Для соседней светлой полосы с порядком $(m+1)$ условие будет:

$2d_{m+1}n = ((m+1) - \frac{1}{2})λ = (m + \frac{1}{2})λ$.

Вычтем из второго условия первое:

$2(d_{m+1} - d_m)n = (m + \frac{1}{2})λ - (m - \frac{1}{2})λ = λ$.

Изменение толщины клина между соседними светлыми полосами равно $Δd = d_{m+1} - d_m = \frac{λ}{2n}$.

Для малого угла клина $γ$, выраженного в радианах, толщина клина $d$ на расстоянии $x$ от его вершины связана соотношением $d ≈ x \cdot γ$. Тогда расстояние между полосами $Δx$ связано с изменением толщины $Δd$ как $Δd ≈ Δx \cdot γ$.

Отсюда $Δx = \frac{Δd}{γ}$.

Подставив выражение для $Δd$, получим формулу для расстояния между соседними светлыми полосами:

$Δx = \frac{λ}{2nγ}$

Подставим числовые значения:

$Δx = \frac{628 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{2 \cdot 1,50 \cdot \frac{π}{32400} \text{ рад}} = \frac{628 \cdot 10^{-9} \cdot 32400}{3π} \text{ м} ≈ \frac{2,03952 \cdot 10^{-2}}{9,425} \text{ м} ≈ 2,16 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

Ответ: расстояние между двумя соседними светлыми полосами равно $2,16 \cdot 10^{-3} \text{ м}$ или $2,16 \text{ мм}$.