Номер 321, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

321. *При нормальном падении на мыльную пленку света с длиной волны $\lambda_1 = 495 \text{ нм}$ свет почти не отражается. При увеличении длины волны интенсивность отраженного света увеличивается и при длине волны $\lambda_2 = 660 \text{ нм}$ достигает максимума. Определите толщину пленки. Абсолютный показатель преломления мыльного раствора $n = 1,32$.

Дано:

Длина волны, при которой наблюдается минимум отражения, $ \lambda_1 = 495 $ нм.

Длина волны, при которой наблюдается максимум отражения, $ \lambda_2 = 660 $ нм.

Абсолютный показатель преломления мыльного раствора $ n = 1.32 $.

Перевод в систему СИ:

$ \lambda_1 = 495 \times 10^{-9} $ м.

$ \lambda_2 = 660 \times 10^{-9} $ м.

Найти:

Толщину пленки $ d $.

Решение:

При падении света на мыльную пленку происходит его отражение от двух поверхностей: внешней (воздух-пленка) и внутренней (пленка-воздух). Отраженные лучи интерферируют между собой.

При отражении света от границы с оптически более плотной средой (в данном случае, от внешней поверхности пленки воздух-мыло, так как $ n > n_{воздуха} \approx 1 $), фаза волны меняется на $ \pi $. Это эквивалентно потере полуволны, то есть дополнительной разности хода $ \lambda/2 $. При отражении от внутренней поверхности (мыло-воздух), где свет переходит в оптически менее плотную среду, изменения фазы не происходит.

Оптическая разность хода для лучей, отраженных от двух поверхностей пленки, при нормальном падении света определяется по формуле $ \Delta = 2nd $, где $ d $ – толщина пленки, $ n $ – показатель преломления.

С учетом потери полуволны на внешней границе, условие интерференционного минимума (ослабления) отраженного света имеет вид:

$ 2nd = m\lambda $, где $ m = 1, 2, 3, ... $

Условие интерференционного максимума (усиления) отраженного света имеет вид:

$ 2nd = (m' + \frac{1}{2})\lambda $, где $ m' = 0, 1, 2, ... $

Согласно условию задачи, при длине волны $ \lambda_1 = 495 $ нм наблюдается минимум отражения:

$ 2nd = m\lambda_1 $ (1)

При длине волны $ \lambda_2 = 660 $ нм наблюдается максимум отражения:

$ 2nd = (m' + \frac{1}{2})\lambda_2 $ (2)

В задаче указано, что при увеличении длины волны от $ \lambda_1 $ интенсивность отраженного света растет и достигает максимума при $ \lambda_2 $. Это означает, что минимум при $ \lambda_1 $ и максимум при $ \lambda_2 $ являются соседними. Для фиксированной толщины пленки $ d $ длина волны обратно пропорциональна порядку интерференции. Поскольку $ \lambda_2 > \lambda_1 $, порядок интерференции для максимума $ m' $ должен быть связан с порядком минимума $ m $ так, чтобы это были соседние экстремумы. Увеличение длины волны соответствует уменьшению порядка интерференции. Следовательно, максимум при $ \lambda_2 $ является ближайшим к минимуму при $ \lambda_1 $ со стороны больших длин волн, что соответствует ближайшему меньшему порядку. Это означает, что $ m' = m - 1 $.

Подставим $ m' = m - 1 $ в уравнение (2):

$ 2nd = (m - 1 + \frac{1}{2})\lambda_2 = (m - \frac{1}{2})\lambda_2 $ (3)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (3), так как левые части равны:

$ m\lambda_1 = (m - \frac{1}{2})\lambda_2 $

Раскроем скобки и найдем порядок интерференции $ m $:

$ m\lambda_1 = m\lambda_2 - \frac{\lambda_2}{2} $

$ m\lambda_2 - m\lambda_1 = \frac{\lambda_2}{2} $

$ m(\lambda_2 - \lambda_1) = \frac{\lambda_2}{2} $

$ m = \frac{\lambda_2}{2(\lambda_2 - \lambda_1)} $

Подставим числовые значения:

$ m = \frac{660 \text{ нм}}{2(660 \text{ нм} - 495 \text{ нм})} = \frac{660}{2 \cdot 165} = \frac{660}{330} = 2 $

Порядок минимума $ m=2 $. Теперь, используя уравнение (1), можем найти толщину пленки $ d $:

$ d = \frac{m\lambda_1}{2n} $

Подставим значения в СИ:

$ d = \frac{2 \cdot 495 \times 10^{-9} \text{ м}}{2 \cdot 1.32} = \frac{495 \times 10^{-9}}{1.32} \text{ м} = 375 \times 10^{-9} \text{ м} $

Толщина пленки составляет 375 нм.

Ответ: толщина пленки $ d = 375 $ нм.