Номер 318, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

318. * Расстояние между мнимыми когерентными источниками света, полученными с помощью бипризмы Френеля, $d = 1 \text{ мм}$. Расстояние от каждого источника света до экрана $l = 3 \text{ м}$. На бипризму падает белый свет, минимальная длина волны которого $\lambda_1 = 380 \text{ нм}$, максимальная $-\lambda_2 = 780 \text{ нм}$. Определите ширину первого спектра на экране.

Дано:

$d = 1$ мм $= 1 \cdot 10^{-3}$ м

$l = 3$ м

$\lambda_1 = 380$ нм $= 380 \cdot 10^{-9}$ м

$\lambda_2 = 780$ нм $= 780 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

$\Delta x_1$ - ширина первого спектра.

Решение:

При использовании бипризмы Френеля образуются два мнимых когерентных источника света. Эти источники создают на экране интерференционную картину. Положение максимумов интенсивности в этой картине определяется формулой:

$x_m = m \frac{\lambda l}{d}$

где $x_m$ — расстояние от центрального максимума до максимума $m$-го порядка, $m$ — порядок максимума ($m = 0, 1, 2, ...$), $\lambda$ — длина волны света, $l$ — расстояние от источников до экрана, а $d$ — расстояние между источниками.

Так как на бипризму падает белый свет, он состоит из волн разной длины. Для каждой длины волны будет наблюдаться своя интерференционная картина. Центральный максимум ($m=0$) для всех длин волн совпадает ($x_0 = 0$), поэтому он будет белым. Максимумы более высоких порядков ($m \geq 1$) для разных длин волн будут находиться на разных расстояниях от центра, образуя спектры.

Первый спектр ($m=1$) формируется первыми интерференционными максимумами для всего диапазона длин волн от $\lambda_1$ до $\lambda_2$.

Положение первого максимума для минимальной длины волны (фиолетовый край спектра) равно:

$x_{1,1} = 1 \cdot \frac{\lambda_1 l}{d} = \frac{\lambda_1 l}{d}$

Положение первого максимума для максимальной длины волны (красный край спектра) равно:

$x_{1,2} = 1 \cdot \frac{\lambda_2 l}{d} = \frac{\lambda_2 l}{d}$

Ширина первого спектра $\Delta x_1$ — это разница между этими двумя положениями:

$\Delta x_1 = x_{1,2} - x_{1,1} = \frac{\lambda_2 l}{d} - \frac{\lambda_1 l}{d} = \frac{(\lambda_2 - \lambda_1)l}{d}$

Подставим данные значения в формулу:

$\Delta x_1 = \frac{(780 \cdot 10^{-9} \text{ м} - 380 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{400 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 3 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}$

$\Delta x_1 = \frac{1200 \cdot 10^{-9}}{10^{-3}} \text{ м} = 1200 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,2$ мм.

Ответ: ширина первого спектра на экране равна 1,2 мм.