Номер 313, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

313. Два точечных когерентных источника света $S_1$ и $S_2$, излучающих в вакууме монохроматические световые волны в одной фазе, находятся на одинаковом расстоянии $H = 50 \text{ см}$ от экрана (рис. 77). При расстоянии между источниками $h = 2 \text{ мм}$ в точке $A$ наблюдается интерференционный максимум. Чему равна длина волны света, излучаемого источниками, если для наблюдения в точке $A$ интерференционного минимума источник света $S_2$ надо сместить вправо на минимальное расстояние $\Delta = 50 \text{ мкм}$?

Рис. 77

Дано:

$H = 50 \text{ см}$

$h = 2 \text{ мм}$

$\Delta = 50 \text{ мкм}$

В системе СИ:

$H = 0.5 \text{ м}$

$h = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\Delta = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Условие интерференции (максимум или минимум) в точке А на экране определяется разностью хода $\delta$ лучей, приходящих от источников $S_1$ и $S_2$.

В начальном состоянии расстояние от источника $S_1$ до точки А (которая находится прямо под ним) равно $r_1 = H$. Расстояние от источника $S_2$ до точки А найдем по теореме Пифагора: $r_2 = \sqrt{H^2 + h^2}$.

Начальная разность хода лучей составляет:

$\delta_1 = r_2 - r_1 = \sqrt{H^2 + h^2} - H$

По условию, в начальном состоянии в точке А наблюдается интерференционный максимум. Условие максимума для когерентных источников, излучающих в одной фазе:

$\delta_1 = k \lambda$, где $k$ — целое число (порядок максимума).

После того как источник $S_2$ сместили вправо на минимальное расстояние $\Delta$, расстояние от его проекции до точки А стало равно $h + \Delta$. Новое расстояние от источника $S_2$ до точки А составляет $r'_2 = \sqrt{H^2 + (h+\Delta)^2}$. Новая разность хода:

$\delta_2 = r'_2 - r_1 = \sqrt{H^2 + (h+\Delta)^2} - H$

В этом случае в точке А наблюдается интерференционный минимум. Поскольку смещение $\Delta$ было минимальным, это ближайший минимум к исходному максимуму. Условие минимума:

$\delta_2 = (k + \frac{1}{2})\lambda$

Изменение разности хода при смещении источника привело к смене максимума на минимум, то есть разность хода увеличилась на половину длины волны:

$\delta_2 - \delta_1 = (k + \frac{1}{2})\lambda - k\lambda = \frac{\lambda}{2}$

Так как расстояния $h$ и $h+\Delta$ много меньше расстояния до экрана $H$, для вычисления разности хода можно использовать приближенную формулу $\delta \approx \frac{x^2}{2L}$, где $x$ — расстояние между источниками (или их проекциями), а $L$ — расстояние до экрана. В нашем случае $L=H$.

Тогда начальная разность хода $\delta_1 \approx \frac{h^2}{2H}$, а конечная $\delta_2 \approx \frac{(h+\Delta)^2}{2H}$.

Подставим эти выражения в полученное ранее соотношение:

$\frac{(h+\Delta)^2}{2H} - \frac{h^2}{2H} = \frac{\lambda}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2H$:

$(h+\Delta)^2 - h^2 = H\lambda$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов или прямое возведение в квадрат:

$h^2 + 2h\Delta + \Delta^2 - h^2 = H\lambda$

$2h\Delta + \Delta^2 = H\lambda$

Отсюда выражаем искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{2h\Delta + \Delta^2}{H}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\lambda = \frac{2 \cdot (2 \cdot 10^{-3}) \cdot (50 \cdot 10^{-6}) + (50 \cdot 10^{-6})^2}{0.5} = \frac{200 \cdot 10^{-9} + 2500 \cdot 10^{-12}}{0.5}$

$\lambda = \frac{2 \cdot 10^{-7} + 2.5 \cdot 10^{-9}}{0.5} = \frac{2 \cdot 10^{-7} + 0.025 \cdot 10^{-7}}{0.5} = \frac{2.025 \cdot 10^{-7}}{0.5}$

$\lambda = 4.05 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Результат удобно выразить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 405 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 405 \text{ нм}$

Ответ: длина волны света равна $405 \text{ нм}$.