Номер 314, страница 96 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

314. В опыте Юнга расстояние между щелями $S_1$ и $S_2$ (рис. 78) $d = 0,75$ мм. Расстояние от щелей до экрана $L = 9,6$ м. Щели освещаются монохроматическим светом с длиной волны $\lambda = 500$ нм, распространяющимся в воздухе. Определите:

а) оптическую разность хода волн, приходящих в точку $C$ экрана, расположенную на расстоянии $l = 32$ мм от центрального максимума;

б) что наблюдается в точке $C$ экрана — усиление или ослабление света;

в) ширину интерференционной полосы — расстояние на экране между двумя соседними интерференционными максимумами;

г) на сколько нужно увеличить длину волны, чтобы расстояние между соседними интерференционными максимумами на экране осталось неизменным, если пространство между щелями и экраном заполнить прозрачной жидкостью, абсолютный показатель преломления которой $n = 1,3$.

Рис. 78

Дано:

$d = 0,75 \text{ мм} = 0,75 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$L = 9,6 \text{ м}$

$\lambda = 500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$l = 32 \text{ мм} = 32 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$n = 1,3$

Найти:

а) $\Delta$

б) Усиление или ослабление света в точке С

в) $\Delta x$

г) $\Delta \lambda$

Решение:

а)

Оптическая разность хода $\Delta$ для точки С на экране, отстоящей на малом расстоянии $l$ от центрального максимума, определяется по формуле:

$\Delta = d \sin{\theta}$

Поскольку расстояние до экрана $L$ значительно больше расстояния между щелями $d$ и смещения $l$, можно использовать приближение малых углов:

$\sin{\theta} \approx \tan{\theta} = \frac{l}{L}$

Тогда формула для разности хода принимает вид:

$\Delta = \frac{d l}{L}$

Подставим числовые значения:

$\Delta = \frac{0,75 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{9,6 \text{ м}} = \frac{24 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{9,6 \text{ м}} = 2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 2,5 \text{ мкм}$

Ответ: Оптическая разность хода волн равна $2,5 \text{ мкм}$.

б)

Для определения характера интерференции (усиление или ослабление) в точке С, необходимо сравнить найденную разность хода $\Delta$ с длиной волны света $\lambda$.

Условие максимума (усиления) света: $\Delta = k \lambda$, где $k$ – целое число (порядок максимума).

Условие минимума (ослабления) света: $\Delta = (k + \frac{1}{2}) \lambda$, где $k$ – целое число.

Найдем отношение $\frac{\Delta}{\lambda}$:

$\frac{\Delta}{\lambda} = \frac{2,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 5$

Так как отношение является целым числом ($k=5$), в точке С выполняется условие максимума. Следовательно, в этой точке наблюдается усиление света.

Ответ: В точке С экрана наблюдается усиление света (пятый интерференционный максимум).

в)

Ширина интерференционной полосы $\Delta x$ — это расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами). Она вычисляется по формуле:

$\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$

Подставим числовые значения:

$\Delta x = \frac{5 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 9,6 \text{ м}}{0,75 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{48 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{0,75 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 64 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 6,4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 6,4 \text{ мм}$

Ответ: Ширина интерференционной полосы равна $6,4 \text{ мм}$.

г)

Ширина интерференционной полосы в воздухе равна $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$.

При заполнении пространства между щелями и экраном жидкостью с показателем преломления $n$, длина волны света в этой среде изменится и станет равной $\lambda_n = \frac{\lambda}{n}$.

Чтобы ширина полосы $\Delta x_{new}$ в жидкости при новой длине волны $\lambda_{new}$ (в вакууме/воздухе) осталась прежней, должно выполняться условие $\Delta x_{new} = \Delta x$.

Длина новой волны в жидкости будет $\lambda'_{new} = \frac{\lambda_{new}}{n}$.

Ширина полосы в этом случае: $\Delta x_{new} = \frac{\lambda'_{new} L}{d} = \frac{\lambda_{new} L}{n d}$.

Приравниваем ширину полос:

$\frac{\lambda L}{d} = \frac{\lambda_{new} L}{n d}$

$\lambda = \frac{\lambda_{new}}{n} \Rightarrow \lambda_{new} = n \lambda$

Требуется найти, на сколько нужно увеличить длину волны, то есть величину $\Delta \lambda = \lambda_{new} - \lambda$.

$\Delta \lambda = n \lambda - \lambda = (n-1)\lambda$

Подставим числовые значения:

$\Delta \lambda = (1,3 - 1) \cdot 500 \text{ нм} = 0,3 \cdot 500 \text{ нм} = 150 \text{ нм}$

Ответ: Длину волны нужно увеличить на $150 \text{ нм}$.