Номер 320, страница 98 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

320. *Белый свет падает нормально на стеклянную пленку, толщина которой $h = 0.40 \text{ мкм}$. Показатель преломления стекла $n = 1.5$. Определите все длины волн, лежащие в пределах видимого спектра (интервал длин волн 380—750 нм), которые в отраженном свете:

а) максимально усилены;

б) максимально ослаблены.

Пластинка находится в воздухе.

Дано:

Толщина пленки, $h = 0,40$ мкм
Показатель преломления стекла, $n = 1,5$
Диапазон видимого спектра: $380$ нм – $750$ нм
Пленка находится в воздухе, показатель преломления которого $n_{возд} \approx 1$

Переведем толщину пленки в нанометры для удобства вычислений:
$h = 0,40 \text{ мкм} = 400 \text{ нм}$

Найти:

Все длины волн $\lambda$ из видимого спектра ($380 \text{ нм} \le \lambda \le 750 \text{ нм}$), которые в отраженном свете:
а) максимально усилены;
б) максимально ослаблены.

Решение:

При падении белого света на стеклянную пленку происходит интерференция двух лучей: отраженного от верхней поверхности (граница воздух-стекло) и отраженного от нижней поверхности (граница стекло-воздух).

1. Луч, отраженный от верхней поверхности (воздух-стекло), меняет свою фазу на $\pi$ (происходит так называемая "потеря полуволны"), так как отражение происходит от среды с большим показателем преломления ($n > n_{возд}$).

2. Луч, отраженный от нижней поверхности (стекло-воздух), не меняет свою фазу, так как отражение происходит от среды с меньшим показателем преломления ($n_{возд} < n$).

Оптическая разность хода между этими двумя лучами, обусловленная прохождением света через пленку туда и обратно при нормальном падении, составляет $\Delta = 2nh$.

Из-за потери полуволны на верхней границе, условия интерференционных максимумов и минимумов меняются на противоположные.

Условие максимального усиления (конструктивной интерференции) в отраженном свете:

$2nh = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Условие максимального ослабления (деструктивной интерференции) в отраженном свете:

$2nh = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Рассчитаем оптическую разность хода:

$2nh = 2 \cdot 1,5 \cdot 400 \text{ нм} = 1200 \text{ нм}$.

а) Максимально усилены

Воспользуемся условием максимума: $1200 = (m + \frac{1}{2})\lambda$.

Выразим длину волны: $\lambda = \frac{1200}{m + 0,5}$.

Подберем целые значения $m$, для которых $\lambda$ будет лежать в видимом диапазоне $380 \text{ нм} \le \lambda \le 750 \text{ нм}$:

$380 \le \frac{1200}{m + 0,5} \le 750$

Решая систему неравенств, получаем:

Из $\frac{1200}{m + 0,5} \ge 380$ следует $m + 0,5 \le \frac{1200}{380} \approx 3,16$, то есть $m \le 2,66$.

Из $\frac{1200}{m + 0,5} \le 750$ следует $m + 0,5 \ge \frac{1200}{750} = 1,6$, то есть $m \ge 1,1$.

Единственное целое число $m$ в интервале $[1,1; 2,66]$ - это $m=2$.

Найдем соответствующую длину волны:

$\lambda = \frac{1200}{2 + 0,5} = \frac{1200}{2,5} = 480$ нм.

Ответ: Максимально усилена будет волна с длиной 480 нм.

б) Максимально ослаблены

Воспользуемся условием минимума: $1200 = m\lambda$.

Выразим длину волны: $\lambda = \frac{1200}{m}$.

Подберем целые значения $m$, для которых $\lambda$ будет лежать в видимом диапазоне $380 \text{ нм} \le \lambda \le 750 \text{ нм}$:

$380 \le \frac{1200}{m} \le 750$

Решая систему неравенств, получаем:

Из $\frac{1200}{m} \ge 380$ следует $m \le \frac{1200}{380} \approx 3,16$.

Из $\frac{1200}{m} \le 750$ следует $m \ge \frac{1200}{750} = 1,6$.

Целые числа $m$ в интервале $[1,6; 3,16]$ - это $m=2$ и $m=3$.

Найдем соответствующие длины волн:

При $m=2$: $\lambda_1 = \frac{1200}{2} = 600$ нм.

При $m=3$: $\lambda_2 = \frac{1200}{3} = 400$ нм.

Ответ: Максимально ослаблены будут волны с длинами 400 нм и 600 нм.