Номер 312, страница 95 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

312. Мыльную пленку освещают видимым светом, спектр которого содержит длины волн от $\lambda_{\text{min}} = 0,38$ мкм до $\lambda_{\text{max}} = 0,76$ мкм. Между световыми волнами, отраженными от поверхностей пленки, возникает оптическая разность хода $\delta = 1,8$ мкм. Определите длины волн света, отраженного от мыльной пленки, который:

а) максимально усилен;

б) максимально ослаблен.

Дано:

Диапазон длин волн видимого света: от $\lambda_{min} = 0,38$ мкм до $\lambda_{max} = 0,76$ мкм.

Оптическая разность хода: $\delta = 1,8$ мкм.

Перевод в систему СИ:

$\lambda_{min} = 0,38 \times 10^{-6}$ м

$\lambda_{max} = 0,76 \times 10^{-6}$ м

$\delta = 1,8 \times 10^{-6}$ м

Найти:

$\lambda_a$ — длины волн света, максимально усиленного отражением.

$\lambda_b$ — длины волн света, максимально ослабленного отражением.

Решение:

При отражении света от двух поверхностей мыльной пленки возникает интерференция. Свет отражается от передней (воздух-пленка) и задней (пленка-воздух) поверхностей. Поскольку показатель преломления мыльной пленки больше, чем у воздуха, световая волна, отраженная от передней поверхности, изменяет свою фазу на $\pi$, что эквивалентно дополнительной разности хода в $\lambda/2$. Волна, отраженная от задней поверхности, фазу не меняет.

В задаче дана оптическая разность хода $\delta$, обусловленная прохождением света через пленку туда и обратно. Для мыльной пленки толщиной $d$ и показателем преломления $n$ при нормальном падении света она равна $\delta = 2dn$.

С учетом потери полуволны при отражении от первой поверхности, условие интерференции будет следующим:

а) Максимальное усиление света (конструктивная интерференция)

Условие максимума: оптическая разность хода $\delta$ должна компенсировать потерю полуволны, то есть быть равной нечетному числу полуволн:

$\delta = (2m + 1)\frac{\lambda}{2}$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Отсюда выразим длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{2\delta}{2m+1}$

Найдем, какие длины волн из заданного диапазона удовлетворяют этому условию. Для этого решим неравенство:

$\lambda_{min} \le \frac{2\delta}{2m+1} \le \lambda_{max}$

$0,38 \le \frac{2 \cdot 1,8}{2m+1} \le 0,76$

$0,38 \le \frac{3,6}{2m+1} \le 0,76$

Рассмотрим два неравенства:

1) $\frac{3,6}{2m+1} \le 0,76 \implies 2m+1 \ge \frac{3,6}{0,76} \implies 2m+1 \ge 4,737 \implies 2m \ge 3,737 \implies m \ge 1,868$

2) $0,38 \le \frac{3,6}{2m+1} \implies 2m+1 \le \frac{3,6}{0,38} \implies 2m+1 \le 9,474 \implies 2m \le 8,474 \implies m \le 4,237$

Таким образом, целые значения $m$, удовлетворяющие условию $1,868 \le m \le 4,237$, это $m=2, 3, 4$.

Найдем соответствующие длины волн:

При $m=2$: $\lambda = \frac{3,6}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{3,6}{5} = 0,72$ мкм.

При $m=3$: $\lambda = \frac{3,6}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{3,6}{7} \approx 0,514$ мкм.

При $m=4$: $\lambda = \frac{3,6}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{3,6}{9} = 0,40$ мкм.

Ответ: Максимально усилены будут световые волны с длинами 0,72 мкм, 0,514 мкм и 0,40 мкм.

б) Максимальное ослабление света (деструктивная интерференция)

Условие минимума: оптическая разность хода $\delta$ должна быть равна целому числу длин волн (чтобы вместе с потерей полуволны получился сдвиг на нечетное число полуволн):

$\delta = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Отсюда выразим длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{\delta}{m}$

Найдем, какие длины волн из заданного диапазона удовлетворяют этому условию. Для этого решим неравенство:

$\lambda_{min} \le \frac{\delta}{m} \le \lambda_{max}$

$0,38 \le \frac{1,8}{m} \le 0,76$

Рассмотрим два неравенства:

1) $\frac{1,8}{m} \le 0,76 \implies m \ge \frac{1,8}{0,76} \implies m \ge 2,368$

2) $0,38 \le \frac{1,8}{m} \implies m \le \frac{1,8}{0,38} \implies m \le 4,737$

Таким образом, целые значения $m$, удовлетворяющие условию $2,368 \le m \le 4,737$, это $m=3, 4$.

Найдем соответствующие длины волн:

При $m=3$: $\lambda = \frac{1,8}{3} = 0,60$ мкм.

При $m=4$: $\lambda = \frac{1,8}{4} = 0,45$ мкм.

Ответ: Максимально ослаблены будут световые волны с длинами 0,60 мкм и 0,45 мкм.