Номер 338, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

338. На дифракционную решетку, находящуюся в воздухе и содержащую $N = 500$ штрихов на длине $l = 1,0\text{ мм}$, нормально падает монохроматический свет с частотой $v = 5 \cdot 10^{14}\text{ Гц}$. Определите число дифракционных максимумов на экране.

Дано

$N = 500$

$l = 1,0 \text{ мм} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\nu = 5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме/воздухе)

Найти:

$N_{max}$ - общее число дифракционных максимумов.

Решение

Условие наблюдения главных максимумов дифракционной решетки определяется формулой:

$d \sin\varphi = k \lambda$

где $d$ – период дифракционной решетки, $\varphi$ – угол дифракции, $k$ – порядок максимума ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$), $\lambda$ – длина волны света.

1. Найдем период дифракционной решетки. Период – это расстояние между соседними штрихами. Его можно найти, разделив общую длину на количество штрихов:

$d = \frac{l}{N} = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{500} = \frac{10 \cdot 10^{-4} \text{ м}}{5 \cdot 10^2} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

2. Найдем длину волны монохроматического света, зная его частоту и скорость распространения в воздухе (приближенно равную скорости света в вакууме $c$):

$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} = 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 600 \text{ нм}$

3. Максимальный порядок дифракционного максимума $k_{max}$ ограничен условием, что синус угла дифракции не может превышать 1: $|\sin\varphi| \le 1$.

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin\varphi$:

$\sin\varphi = \frac{k \lambda}{d}$

Тогда условие принимает вид:

$\frac{k \lambda}{d} \le 1 \implies k \le \frac{d}{\lambda}$

Подставим найденные значения $d$ и $\lambda$:

$k \le \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2}{0,6} \approx 3,33$

Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, максимальное возможное значение $k$ равно 3. То есть, $k_{max} = 3$.

4. На экране будут наблюдаться максимумы следующих порядков: $k = 0$ (центральный максимум), $k = \pm1$, $k = \pm2$, $k = \pm3$.

Общее число максимумов $N_{max}$ равно количеству всех возможных значений $k$:

$N_{max} = 2 \cdot k_{max} + 1$ (два симметричных максимума для каждого порядка от 1 до $k_{max}$ плюс один центральный максимум для $k=0$).

$N_{max} = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Таким образом, на экране будет наблюдаться 7 дифракционных максимумов.

Ответ: 7.