Номер 336, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

336. На дифракционную решетку, имеющую $N = 100$ штрихов на длине $l = 1,0 \text{ мм}$, нормально падает белый свет (интервал длин волн $\lambda_{\text{min}} = 380 \text{ нм} - \lambda_{\text{max}} = 780 \text{ нм}$). Непосредственно за решеткой расположена тонкая линза с фокусным расстоянием $F = 2 \text{ м}$, в фокальной плоскости которой находится экран. Определите ширину дифракционного спектра первого порядка на экране.

Дано:

$N = 100$

$l = 1.0 \text{ мм}$

$\lambda_{min} = 380 \text{ нм}$

$\lambda_{max} = 780 \text{ нм}$

$F = 2 \text{ м}$

$k = 1$

Перевод в систему СИ:

$l = 1.0 \times 10^{-3} \text{ м}$

$\lambda_{min} = 380 \times 10^{-9} \text{ м}$

$\lambda_{max} = 780 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$\Delta x$

Решение:

Ширина дифракционного спектра первого порядка на экране определяется разностью положений крайних лучей этого спектра (соответствующих максимальной и минимальной длинам волн).

1. Сначала определим период дифракционной решетки $d$. Период решетки — это расстояние между соседними штрихами. Он равен общей длине $l$, на которой нанесены штрихи, деленной на их количество $N$:

$d = \frac{l}{N}$

Подставим значения:

$d = \frac{1.0 \times 10^{-3} \text{ м}}{100} = 1.0 \times 10^{-5} \text{ м}$

2. Условие дифракционного максимума для света, падающего нормально на решетку, имеет вид:

$d \sin\theta = k\lambda$

где $\theta$ — угол, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок спектра, $\lambda$ — длина волны света.

3. Линза, расположенная за решеткой, фокусирует параллельные лучи, дифрагировавшие под углом $\theta$, в точку на экране, который находится в фокальной плоскости. Расстояние $x$ от центрального максимума до максимума $k$-го порядка на экране можно найти из геометрии:

$x = F \tan\theta$

Для малых углов дифракции, которые обычно наблюдаются в таких экспериментах, справедливо приближение $\tan\theta \approx \sin\theta$. Тогда:

$x \approx F \sin\theta$

Из условия максимума выразим $\sin\theta = \frac{k\lambda}{d}$ и подставим в формулу для $x$:

$x \approx F \frac{k\lambda}{d}$

4. Ширина спектра первого порядка $\Delta x$ равна разности координат максимумов для максимальной и минимальной длин волн:

$\Delta x = x_{max} - x_{min} = F \frac{k\lambda_{max}}{d} - F \frac{k\lambda_{min}}{d}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\Delta x = \frac{Fk}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})$

5. Подставим числовые значения для первого порядка ($k=1$):

$\Delta x = \frac{2 \text{ м} \cdot 1}{1.0 \times 10^{-5} \text{ м}} (780 \times 10^{-9} \text{ м} - 380 \times 10^{-9} \text{ м})$

$\Delta x = 2 \times 10^5 \text{ м}^{-1} \cdot (400 \times 10^{-9} \text{ м}) = 800 \times 10^{-4} \text{ м} = 0.08 \text{ м}$

Для удобства переведем результат в сантиметры: $0.08 \text{ м} = 8 \text{ см}$.

Ответ: Ширина дифракционного спектра первого порядка на экране составляет 8 см.