Номер 342, страница 103 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

342. На дифракционную решетку, ширина непрозрачного участка которой $a = 1,2$ мкм, а прозрачного $b = 0,8$ мкм, по нормали падает лазерный луч с длиной волны $\lambda = 700$ нм. На плоском экране, расположенном перпендикулярно плоскости решетки, наблюдается ряд светлых точек. Определите расстояние между крайними точками, если расстояние от центра дифракционной решетки до одной из крайних точек $L = 3,0$ м.

Дано:

$a = 1,2$ мкм

$b = 0,8$ мкм

$\lambda = 700$ нм

$L = 3,0$ м

Перевод в СИ:

$a = 1,2 \times 10^{-6}$ м

$b = 0,8 \times 10^{-6}$ м

$\lambda = 700 \times 10^{-9}$ м $= 0,7 \times 10^{-6}$ м

Найти:

$X$

Решение:

Период (постоянная) дифракционной решетки $d$ представляет собой сумму ширин непрозрачного ($a$) и прозрачного ($b$) участков:

$d = a + b = 1,2 \times 10^{-6} \text{ м} + 0,8 \times 10^{-6} \text{ м} = 2,0 \times 10^{-6}$ м.

Условие, при котором наблюдаются главные максимумы (светлые точки) в дифракционной картине, задается формулой:

$d \sin\phi = k\lambda$,

где $\phi$ — угол дифракции, $k$ — целое число, называемое порядком максимума ($k = 0, \pm 1, \pm 2, ...$), а $\lambda$ — длина волны падающего света.

Чтобы найти крайние наблюдаемые точки, необходимо определить максимальный возможный порядок максимума $k_{max}$. Это значение ограничено тем, что синус угла не может превышать единицу ($\sin\phi \le 1$).

$k = \frac{d \sin\phi}{\lambda} \le \frac{d}{\lambda}$

Подставим числовые значения:

$k \le \frac{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}}{700 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}}{0,7 \times 10^{-6} \text{ м}} \approx 2,86$

Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, максимальный наблюдаемый порядок равен $k_{max} = 2$. Таким образом, крайние светлые точки соответствуют максимумам второго порядка.

Пусть $x$ — расстояние на экране от центральной светлой точки (максимум нулевого порядка, $k=0$) до одной из крайних точек (максимум порядка $k_{max}=2$). Согласно условию задачи, $L$ — это расстояние от центра дифракционной решетки до этой крайней точки. Из геометрии установки следует, что угол дифракции $\phi_{max}$ для этого максимума связан с расстояниями $x$ и $L$ соотношением:

$\sin\phi_{max} = \frac{x}{L}$

Подставим это выражение в формулу дифракционной решетки для $k=k_{max}$:

$d \cdot \frac{x}{L} = k_{max}\lambda$

Выразим отсюда расстояние $x$:

$x = \frac{k_{max} \lambda L}{d}$

Вычислим значение $x$:

$x = \frac{2 \cdot (700 \times 10^{-9} \text{ м}) \cdot 3,0 \text{ м}}{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2 \cdot 0,7 \times 10^{-6} \text{ м} \cdot 3,0 \text{ м}}{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}} = \frac{1,4 \cdot 3,0}{2,0} \text{ м} = 2,1$ м.

Дифракционная картина симметрична относительно центрального максимума. Искомое расстояние $X$ между двумя крайними точками (соответствующими $k=2$ и $k=-2$) равно удвоенному расстоянию $x$.

$X = 2x = 2 \cdot 2,1 \text{ м} = 4,2$ м.

Ответ: Расстояние между крайними точками равно 4,2 м.