Номер 352, страница 110 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

352. *На расстоянии $L_1 = 1,0$ м от точечного источника, излучающего свет во всех направлениях одинаково, находится солнечная батарея площадью $S = 10$ см$^2$, плоскость которой перпендикулярна падающим на нее световым лучам. Максимальная электрическая мощность, вырабатываемая батареей, $P_1 = 1,2$ мВт. Определите:

а) какую максимальную мощность сможет вырабатывать солнечная батарея, если ее поместить на расстоянии $L_2 = 2,0$ м от источника;

б) какую максимальную электрическую мощность можно получить, если весь свет от источника направить на солнечную батарею;

в) как сделать так, чтобы весь свет от источника падал на батарею.

Дано:

$L_1 = 1,0 \text{ м}$

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

$P_1 = 1,2 \text{ мВт} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}$

$L_2 = 2,0 \text{ м}$

Найти:

а) $P_2$ - ?

б) $P_{max}$ - ?

в) Как направить весь свет от источника на батарею?

Решение:

Точечный источник излучает свет одинаково во всех направлениях, поэтому энергия излучения распределяется по поверхности сферы. Интенсивность света $I$ на расстоянии $L$ от источника с полной мощностью излучения $P_{ист}$ определяется как отношение мощности к площади сферы $S_{сф} = 4\pi L^2$:

$I = \frac{P_{ист}}{4\pi L^2}$

Мощность светового потока $P_{свет}$, падающего на солнечную батарею площадью $S$, перпендикулярную лучам, равна:

$P_{свет} = I \cdot S = \frac{P_{ист} S}{4\pi L^2}$

Вырабатываемая электрическая мощность $P_{эл}$ пропорциональна мощности падающего света, с коэффициентом полезного действия (КПД) $\eta$:

$P_{эл} = \eta \cdot P_{свет} = \frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L^2}$

Эта формула показывает, что вырабатываемая мощность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника: $P_{эл} \sim \frac{1}{L^2}$.

а) Какую максимальную мощность сможет вырабатывать солнечная батарея, если ее поместить на расстоянии $L_2 = 2,0 \text{ м}$ от источника?

Запишем выражения для мощности на расстояниях $L_1$ и $L_2$:

$P_1 = \frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L_1^2}$

$P_2 = \frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L_2^2}$

Разделив второе уравнение на первое, получим отношение мощностей:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L_2^2}}{\frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L_1^2}} = \frac{L_1^2}{L_2^2} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2$

Отсюда можем выразить $P_2$:

$P_2 = P_1 \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^2 = 1,2 \text{ мВт} \cdot \left(\frac{1,0 \text{ м}}{2,0 \text{ м}}\right)^2 = 1,2 \text{ мВт} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1,2 \text{ мВт} \cdot \frac{1}{4} = 0,3 \text{ мВт}$

Ответ: $0,3 \text{ мВт}$.

б) Какую максимальную электрическую мощность можно получить, если весь свет от источника направить на солнечную батарею?

Если весь свет от источника направить на батарею, то мощность падающего света будет равна полной мощности излучения источника $P_{ист}$. Максимальная электрическая мощность в этом случае будет равна:

$P_{max} = \eta \cdot P_{ист}$

Чтобы найти величину $\eta P_{ист}$, воспользуемся данными для первого случая:

$P_1 = \frac{\eta P_{ист} S}{4\pi L_1^2}$

Выразим отсюда искомое произведение:

$\eta P_{ист} = \frac{4\pi L_1^2 P_1}{S}$

Следовательно, максимальная мощность равна:

$P_{max} = \frac{4\pi L_1^2 P_1}{S}$

Подставим значения в системе СИ:

$P_{max} = \frac{4\pi \cdot (1,0 \text{ м})^2 \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Вт}}{10^{-3} \text{ м}^2} = 4,8\pi \text{ Вт} \approx 15,1 \text{ Вт}$

Ответ: $4,8\pi \text{ Вт}$, что примерно равно $15,1 \text{ Вт}$.

в) Как сделать так, чтобы весь свет от источника падал на батарею?

Чтобы собрать весь свет, излучаемый точечным источником во всех направлениях, и направить его на небольшую площадь солнечной батареи, необходимо использовать собирающую оптическую систему. Идеальным решением является использование зеркального отражателя в форме эллипсоида вращения. Если поместить точечный источник света в один из фокусов эллипсоида, то все лучи после отражения от его внутренней поверхности соберутся в другом фокусе. Разместив в этом втором фокусе солнечную батарею, можно направить на неё весь свет от источника.

Ответ: Необходимо использовать зеркало в форме эллипсоида вращения, поместив источник света в один его фокус, а солнечную батарею — в другой.