Номер 360, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

360. На потолке комнаты закреплен точечный источник света. Под ним на полу лежит зеркало в виде диска радиусом $r = 15$ см. Определите радиус светового «зайчика», полученного на потолке комнаты, если центр зеркала, точечный источник света и центр «зайчика» расположены на одной вертикальной прямой.

Дано

$r = 15$ см

Найти:

$R$

Решение

Для решения этой задачи удобно использовать метод мнимого изображения. Плоское зеркало создает мнимое (виртуальное) изображение источника света, которое располагается за зеркалом на том же расстоянии, что и источник перед ним.

Пусть $H$ — высота комнаты, то есть расстояние от точечного источника света $S$ на потолке до центра зеркала $O$ на полу. Согласно условию, источник $S$, центр зеркала $O$ и центр светового «зайчика» (который совпадает с источником $S$) лежат на одной вертикальной прямой.

Мнимое изображение $S'$ источника $S$ будет находиться под полом на расстоянии $H$ от плоскости зеркала, на той же вертикальной прямой.

Световой «зайчик» на потолке образуется лучами, отраженными от поверхности зеркала. Край этого «зайчика» (точка $R$) будет создан лучами, отраженными от края зеркала (точка $M$). По закону отражения, отраженный луч $MR$ распространяется так, как будто он исходит из мнимого источника $S'$. Это означает, что точки $S'$, $M$ и $R$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle S'OM$ и $\triangle S'SR$.

• Треугольник $\triangle S'OM$ образован мнимым источником $S'$, центром зеркала $O$ и краем зеркала $M$. Его катеты: $S'O = H$ и $OM = r$ (радиус зеркала).
• Треугольник $\triangle S'SR$ образован мнимым источником $S'$, центром «зайчика» $S$ и краем «зайчика» $R$. Его катеты: $S'S = S'O + OS = H + H = 2H$ и $SR = R$ (искомый радиус «зайчика»).

Эти два треугольника подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $S'$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих катетов:

$\frac{SR}{OM} = \frac{S'S}{S'O}$

Подставим в это соотношение известные нам выражения для длин сторон:

$\frac{R}{r} = \frac{2H}{H}$

Высота комнаты $H$ сокращается, и мы получаем простое соотношение:

$\frac{R}{r} = 2$

Отсюда находим радиус светового «зайчика»:

$R = 2r$

Теперь подставим числовое значение радиуса зеркала из условия задачи:

$R = 2 \cdot 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.