Номер 365, страница 114 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

365. Маленькая светодиодная лампочка $S$ находится на расстоянии $l = 20 \text{ см}$ от зеркальной плоской витрины $B$ (рис. 93). Витрину повернули на угол $\alpha = 30^\circ$ вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку $O$. Определите модуль перемещения изображения светодиодной лампочки.

Дано:

$l = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

$d$ - ?

Решение:

Обозначим начальное положение изображения лампочки как $S_1$, а конечное — как $S_2$. Изображение в плоском зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним, причем отрезок, соединяющий предмет и изображение, перпендикулярен плоскости зеркала.

В начальный момент времени лампочка $S$ находится на расстоянии $l$ от зеркала. Будем считать, что точка $O$, вокруг которой поворачивается зеркало, лежит на поверхности зеркала, а прямая $SO$ перпендикулярна плоскости зеркала. Тогда расстояние от точки $O$ до лампочки $S$ равно $l$. Начальное изображение $S_1$ находится за зеркалом на расстоянии $l$ от него, следовательно, расстояние от точки $O$ до изображения $S_1$ также равно $l$. Точки $S$, $O$ и $S_1$ лежат на одной прямой.

Когда плоское зеркало поворачивается на угол $\alpha$ вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала, изображение предмета поворачивается вокруг той же оси на угол $2\alpha$ в ту же сторону.

Таким образом, конечное изображение $S_2$ будет находиться на том же расстоянии $l$ от точки $O$, что и начальное изображение $S_1$, то есть $OS_1 = OS_2 = l$. Угол между направлениями $OS_1$ и $OS_2$ будет равен $2\alpha$.

Точки $O$, $S_1$ и $S_2$ образуют равнобедренный треугольник $OS_1S_2$, в котором боковые стороны $OS_1$ и $OS_2$ равны $l$, а угол между ними $\angle S_1OS_2 = 2\alpha$. Модуль перемещения изображения $d$ равен длине основания этого треугольника — отрезка $S_1S_2$.

Найдем длину основания $S_1S_2$ по теореме косинусов:

$d^2 = (S_1S_2)^2 = (OS_1)^2 + (OS_2)^2 - 2(OS_1)(OS_2)\cos(2\alpha)$

$d^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(2\alpha) = 2l^2(1 - \cos(2\alpha))$

Используем тригонометрическую формулу понижения степени: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.

$d^2 = 2l^2 \cdot 2\sin^2(\alpha) = 4l^2\sin^2(\alpha)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для модуля перемещения:

$d = \sqrt{4l^2\sin^2(\alpha)} = 2l\sin(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$d = 2 \cdot 20 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ) = 40 \text{ см} \cdot 0.5 = 20 \text{ см}$

Ответ: модуль перемещения изображения светодиодной лампочки равен $20$ см.