Номер 368, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

368. Два плоских зеркала образуют двугранный угол $\varphi = 90^\circ$. Между ними помещен точечный источник света. Изображение источника в одном зеркале находится на расстоянии $l_1 = 6,0 \text{ см}$, а в другом — на расстоянии $l_2 = 8,0 \text{ см}$ от источника. Определите расстояние между этими изображениями.

Дано:

Угол между зеркалами, $φ = 90°$

Расстояние от источника до изображения в первом зеркале, $l_1 = 6,0$ см

Расстояние от источника до изображения во втором зеркале, $l_2 = 8,0$ см

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0,06$ м

$l_2 = 0,08$ м

Найти:

Расстояние между изображениями, $L$

Решение:

Расположим систему координат так, чтобы зеркала совпадали с координатными плоскостями $XOZ$ и $YOZ$. Линия пересечения зеркал будет осью $OZ$, а угол между ними составит $90°$. Пусть точечный источник света $S$ находится в точке с координатами $(x_S, y_S)$.

Изображение в плоском зеркале является мнимым, находится на том же расстоянии от зеркала, что и предмет, и отрезок, соединяющий предмет и изображение, перпендикулярен плоскости зеркала.

Пусть первое зеркало находится в плоскости $YOZ$ (где $x=0$). Расстояние от источника $S$ до этого зеркала равно $x_S$. Его изображение $S_1$ будет иметь координаты $(-x_S, y_S)$. Расстояние $l_1$ между источником $S(x_S, y_S)$ и его изображением $S_1(-x_S, y_S)$ равно удвоенному расстоянию от источника до зеркала:

$l_1 = 2x_S$

Пусть второе зеркало находится в плоскости $XOZ$ (где $y=0$). Расстояние от источника $S$ до этого зеркала равно $y_S$. Его изображение $S_2$ будет иметь координаты $(x_S, -y_S)$. Расстояние $l_2$ между источником $S(x_S, y_S)$ и его изображением $S_2(x_S, -y_S)$ равно удвоенному расстоянию от источника до второго зеркала:

$l_2 = 2y_S$

Нам необходимо найти расстояние $L$ между изображениями $S_1(-x_S, y_S)$ и $S_2(x_S, -y_S)$. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

$L = \sqrt{(x_S - (-x_S))^2 + (-y_S - y_S)^2} = \sqrt{(2x_S)^2 + (-2y_S)^2} = \sqrt{(2x_S)^2 + (2y_S)^2}$

Подставим в это выражение найденные ранее соотношения $l_1 = 2x_S$ и $l_2 = 2y_S$:

$L = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}$

Данная формула является теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $S_1SS_2$, в котором катеты – это расстояния от источника до изображений ($SS_1 = l_1$ и $SS_2 = l_2$), а гипотенуза – это расстояние между изображениями ($S_1S_2 = L$). Прямой угол находится при вершине $S$.

Подставим числовые значения:

$L = \sqrt{(6,0 \text{ см})^2 + (8,0 \text{ см})^2} = \sqrt{36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2} = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см}$

Проверим расчеты в системе СИ:

$L = \sqrt{(0,06 \text{ м})^2 + (0,08 \text{ м})^2} = \sqrt{0,0036 \text{ м}^2 + 0,0064 \text{ м}^2} = \sqrt{0,01 \text{ м}^2} = 0,1 \text{ м}$

Ответ: расстояние между изображениями составляет $10$ см.