Номер 369, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

369. На горизонтальном столе расположено плоское зеркало. По столу катится шарик. Определите угол между зеркалом и столом, если модуль скорости удаления шарика от основания зеркала равен модулю скорости удаления шарика от его изображения в зеркале.

Дано:

Плоское зеркало расположено на горизонтальном столе под некоторым углом. По столу катится шарик.
Модуль скорости удаления шарика от основания зеркала, $v_1$, равен модулю скорости удаления шарика от его изображения в зеркале, $v_2$.
$v_1 = v_2$

Найти:

Угол $\alpha$ между зеркалом и столом.

Решение:

Пусть $\vec{v}$ – скорость шарика, который катится по горизонтальному столу. Вектор скорости $\vec{v}$ лежит в плоскости стола.

1. Найдем модуль скорости удаления шарика от основания зеркала ($v_1$).
Основание зеркала – это линия пересечения плоскости зеркала и плоскости стола. Обозначим эту линию как $L$.
Скорость удаления шарика от линии $L$ равна модулю составляющей его скорости, перпендикулярной этой линии. Разложим вектор скорости шарика $\vec{v}$ на две составляющие: $\vec{v}_{||L}$ (параллельную линии $L$) и $\vec{v}_{\perp L}$ (перпендикулярную линии $L$ и лежащую в плоскости стола).
Расстояние от шарика до линии $L$ изменяется только за счет компоненты $\vec{v}_{\perp L}$. Таким образом, модуль скорости удаления шарика от основания зеркала равен:
$v_1 = |\vec{v}_{\perp L}|$

2. Найдем модуль скорости удаления шарика от его изображения ($v_2$).
Скорость удаления шарика от его изображения равна модулю относительной скорости шарика и его изображения. Пусть $\vec{v}$ – скорость шарика, а $\vec{v'}$ – скорость его изображения.
Разложим скорость шарика $\vec{v}$ на компоненты, параллельную плоскости зеркала ($\vec{v}_{||M}$) и перпендикулярную (нормальную) к ней ($\vec{v}_{\perp M}$).
$\vec{v} = \vec{v}_{||M} + \vec{v}_{\perp M}$
При отражении от плоского зеркала параллельная составляющая скорости изображения совпадает с параллельной составляющей скорости объекта, а нормальная составляющая меняет знак на противоположный:
$\vec{v'} = \vec{v}_{||M} - \vec{v}_{\perp M}$
Относительная скорость шарика и изображения:
$\vec{v}_{отн} = \vec{v} - \vec{v'} = (\vec{v}_{||M} + \vec{v}_{\perp M}) - (\vec{v}_{||M} - \vec{v}_{\perp M}) = 2\vec{v}_{\perp M}$
Скорость удаления шарика от изображения – это модуль этой относительной скорости:
$v_2 = |\vec{v}_{отн}| = |2\vec{v}_{\perp M}| = 2|\vec{v}_{\perp M}|$

3. Свяжем $|\vec{v}_{\perp L}|$ и $|\vec{v}_{\perp M}|$.
$|\vec{v}_{\perp M}|$ – это модуль проекции вектора скорости $\vec{v}$ на нормаль к плоскости зеркала $\vec{n}_M$.
$|\vec{v}_{\perp M}| = |\vec{v} \cdot \vec{n}_M|$
Поскольку $\vec{v} = \vec{v}_{||L} + \vec{v}_{\perp L}$, то
$|\vec{v}_{\perp M}| = |(\vec{v}_{||L} + \vec{v}_{\perp L}) \cdot \vec{n}_M| = |\vec{v}_{||L} \cdot \vec{n}_M + \vec{v}_{\perp L} \cdot \vec{n}_M|$
Вектор $\vec{v}_{||L}$ параллелен основанию зеркала $L$, которое лежит в плоскости зеркала. Следовательно, вектор $\vec{v}_{||L}$ перпендикулярен нормали к плоскости зеркала $\vec{n}_M$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v}_{||L} \cdot \vec{n}_M = 0$.
Тогда: $|\vec{v}_{\perp M}| = |\vec{v}_{\perp L} \cdot \vec{n}_M|$
Это выражение представляет собой модуль проекции вектора $\vec{v}_{\perp L}$ на направление нормали $\vec{n}_M$.
Рассмотрим сечение, перпендикулярное основанию зеркала $L$. В этом сечении плоскость стола и плоскость зеркала выглядят как две пересекающиеся прямые, образующие угол $\alpha$. Вектор $\vec{v}_{\perp L}$ лежит на прямой, изображающей стол. Нормаль $\vec{n}_M$ перпендикулярна прямой, изображающей зеркало. Угол между прямой стола и нормалью к прямой зеркала составляет $90^\circ - \alpha$.
Следовательно, модуль проекции $\vec{v}_{\perp L}$ на $\vec{n}_M$ равен:
$|\vec{v}_{\perp M}| = |\vec{v}_{\perp L}| \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = |\vec{v}_{\perp L}| \cdot \sin\alpha$

4. Используем условие задачи.
По условию $v_1 = v_2$. Подставим найденные выражения:
$|\vec{v}_{\perp L}| = 2|\vec{v}_{\perp M}|$
Теперь подставим связь между компонентами:
$|\vec{v}_{\perp L}| = 2 \cdot (|\vec{v}_{\perp L}| \cdot \sin\alpha)$
Если шарик движется не параллельно основанию зеркала, то $|\vec{v}_{\perp L}| \neq 0$. Мы можем сократить это слагаемое:
$1 = 2 \sin\alpha$
Отсюда находим синус угла:
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$
Поскольку угол между зеркалом и столом является острым ($0 < \alpha < 90^\circ$), то:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: Угол между зеркалом и столом равен $30^\circ$.