Номер 372, страница 116 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

372. На рисунке 95 изображено тонкое двухстороннее сферическое зеркало с радиусом кривизны $R$. Главная оптическая ось зеркала совпадает с горизонтальной осью $Ox$. Полюс $O$ зеркала находится в начале координат. На главной оптической оси находится вертикальная стрелка $AB$. Приведите в соответствие координату $x$ стрелки, координату $x'$ ее изображения, ориентацию изображения и знак отношения между высотой изображения и высотой стрелки. Обоснуйте ответ.

Рис. 95

Координата стрелки

А) $x < 0$

Б) $0 < x < \frac{R}{2}$

В) $\frac{R}{2} < x < R$

Г) $x = R$

Д) $x > R$

Координата изображения

а) $x' < 0$

б) $0 < x' < \frac{R}{2}$

в) $\frac{R}{2} < x' < R$

г) $x' = R$

д) $x' > R$

Ориентация изображения

1) Прямое.

2) Перевернутое

Знак отношения между высотой изображения и высотой стрелки

I) $<$

II) $=$

III) $>$

Решение

Для определения характеристик изображения, даваемого сферическим зеркалом, воспользуемся формулой тонкого зеркала. В данной системе координат, где полюс зеркала находится в начале координат (точка О), а центр кривизны в точке $O_1$ с координатой $x=R$, фокусное расстояние зеркала $F = R/2$. Формула зеркала в этих координатах имеет вид:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x'} = \frac{1}{F} = \frac{2}{R}$

где $x$ — координата предмета (стрелки), а $x'$ — координата изображения.

Из этой формулы выразим координату изображения $x'$:

$\frac{1}{x'} = \frac{2}{R} - \frac{1}{x} = \frac{2x - R}{Rx}$

$x' = \frac{Rx}{2x - R}$

Поперечное увеличение зеркала $\Gamma$ определяется как отношение высоты изображения $h'$ к высоте предмета $h$:

$\Gamma = \frac{h'}{h} = -\frac{x'}{x}$

Подставив выражение для $x'$, получим:

$\Gamma = -\frac{Rx / (2x - R)}{x} = -\frac{R}{2x - R} = \frac{R}{R - 2x}$

Проанализируем каждый случай.

А) Координата стрелки: $x < 0$

Предмет находится перед выпуклой стороной зеркала.

1. Координата изображения $x'$: $x' = \frac{Rx}{2x - R}$. Поскольку $x < 0$, числитель $Rx$ отрицателен. Знаменатель $2x - R$ также отрицателен. Следовательно, $x' > 0$. Чтобы определить диапазон, рассмотрим предельные случаи: при $x \to 0^-$, $x' \to \frac{R \cdot 0}{0 - R} = 0$. При $x \to -\infty$, $x' = \frac{R}{2 - R/x} \to \frac{R}{2}$. Таким образом, $0 < x' < R/2$. Этот диапазон соответствует варианту б) $0 < x' < R/2$.

2. Ориентация изображения: $\Gamma = \frac{R}{R - 2x}$. Так как $x < 0$, знаменатель $R - 2x$ положителен и больше $R$. Следовательно, $0 < \Gamma < 1$. Поскольку $\Gamma > 0$, изображение прямое. Это соответствует варианту 1) Прямое.

3. Отношение высот: Так как $0 < \Gamma < 1$, то $|\Gamma| < 1$, что означает, что изображение уменьшенное ($|h'| < |h|$). Это соответствует варианту I) .

Ответ: А - б, 1, I.

Б) Координата стрелки: $0 < x < \frac{R}{2}$

Предмет находится между полюсом и фокусом вогнутого зеркала.

1. Координата изображения $x'$: $x' = \frac{Rx}{2x - R}$. Поскольку $0 < x < R/2$, числитель $Rx$ положителен, а знаменатель $2x - R$ отрицателен. Следовательно, $x' < 0$. Это соответствует варианту а) $x' < 0$.

2. Ориентация изображения: $\Gamma = \frac{R}{R - 2x}$. Так как $0 < x < R/2$, знаменатель $0 < R - 2x < R$. Следовательно, $\Gamma > 1$. Поскольку $\Gamma > 0$, изображение прямое. Это соответствует варианту 1) Прямое.

3. Отношение высот: Так как $\Gamma > 1$, то $|\Gamma| > 1$, что означает, что изображение увеличенное ($|h'| > |h|$). Это соответствует варианту III) >.

Ответ: Б - а, 1, III.

В) Координата стрелки: $\frac{R}{2} < x < R$

Предмет находится между фокусом и центром кривизны вогнутого зеркала.

1. Координата изображения $x'$: $x' = \frac{Rx}{2x - R}$. Поскольку $R/2 < x < R$, и числитель $Rx$, и знаменатель $2x - R$ положительны. Следовательно, $x' > 0$. Рассмотрим предельные случаи: при $x \to (R/2)^+$, знаменатель стремится к $0^+$, поэтому $x' \to +\infty$. При $x \to R^-$, $x' \to \frac{R \cdot R}{2R - R} = R$. Таким образом, $x' > R$. Это соответствует варианту д) $x' > R$.

2. Ориентация изображения: $\Gamma = \frac{R}{R - 2x}$. Так как $R/2 < x < R$, знаменатель $R - 2x$ отрицателен. Следовательно, $\Gamma < 0$. Изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Отношение высот: Поскольку $R - 2x$ изменяется от $0^-$ до $-R$, то $\Gamma$ изменяется от $-\infty$ до $-1$. В любом случае, $|\Gamma| > 1$, что означает, что изображение увеличенное ($|h'| > |h|$). Это соответствует варианту III) >.

Ответ: В - д, 2, III.

Г) Координата стрелки: $x = R$

Предмет находится в центре кривизны вогнутого зеркала.

1. Координата изображения $x'$: $x' = \frac{R \cdot R}{2R - R} = \frac{R^2}{R} = R$. Это соответствует варианту г) $x' = R$.

2. Ориентация изображения: $\Gamma = \frac{R}{R - 2R} = \frac{R}{-R} = -1$. Поскольку $\Gamma < 0$, изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Отношение высот: Так как $|\Gamma| = 1$, изображение имеет тот же размер, что и предмет ($|h'| = |h|$). Это соответствует варианту II) =.

Ответ: Г - г, 2, II.

Д) Координата стрелки: $x > R$

Предмет находится за центром кривизны вогнутого зеркала.

1. Координата изображения $x'$: $x' = \frac{Rx}{2x - R}$. Поскольку $x > R$, числитель и знаменатель положительны, так что $x' > 0$. Рассмотрим предельные случаи: при $x \to R^+$, $x' \to \frac{R^2}{R} = R$. При $x \to +\infty$, $x' = \frac{R}{2 - R/x} \to \frac{R}{2}$. Таким образом, $R/2 < x' < R$. Это соответствует варианту в) $R/2 < x' < R$.

2. Ориентация изображения: $\Gamma = \frac{R}{R - 2x}$. Так как $x > R$, знаменатель $R - 2x$ отрицателен. Следовательно, $\Gamma < 0$. Изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Отношение высот: Так как $x > R$, то $2x > 2R$, и $R - 2x < -R$. Тогда $0 > \Gamma > \frac{R}{-R} = -1$. Таким образом, $|\Gamma| < 1$, что означает, что изображение уменьшенное ($|h'| < |h|$). Это соответствует варианту I) .

Ответ: Д - в, 2, I.