Номер 367, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

367. На рисунке 94 изображены два плоских зеркала и точечный источник света S. Укажите координаты точек, в которых будут расположены все изображения источника.

Рис. 94

Дано:

Координаты точечного источника света S: $(2; 5)$ дм.

Первое плоское зеркало M₁ расположено на прямой $y = 4$ в пределах от $x=0$ до $x=5$.

Второе плоское зеркало M₂ является отрезком прямой, соединяющим точки с координатами $(0; 8)$ и $(5; 4)$.

Найти:

Координаты всех изображений источника S.

Решение:

Для нахождения изображений будем последовательно отражать источник и его мнимые изображения в зеркалах, проверяя каждый раз, лежит ли точка отражения на физической поверхности зеркала.

1. Изображения первого порядка

Изображение S₁ в зеркале M₁

Зеркало M₁ горизонтально и описывается уравнением $y=4$. Источник S(2; 5) находится на расстоянии $d = |5-4| = 1$ дм от зеркала. Изображение S₁ будет симметрично источнику относительно этой прямой. Координата $x$ при этом не изменится, а координата $y$ станет $y_1 = 4 - d = 4 - 1 = 3$.

Таким образом, координаты изображения S₁: $(2; 3)$.

Точка отражения луча на зеркале M₁ имеет координаты $(2; 4)$. Поскольку $0 \le 2 \le 5$, эта точка лежит на зеркале, следовательно, изображение S₁ действительно существует.

Изображение S₂ в зеркале M₂

Сначала найдем уравнение прямой, на которой лежит зеркало M₂. Прямая проходит через точки $(0; 8)$ и $(5; 4)$. Ее угловой коэффициент $m = \frac{4-8}{5-0} = -\frac{4}{5}$. Уравнение прямой имеет вид $y - 8 = -\frac{4}{5}(x - 0)$, что можно переписать в общем виде: $4x + 5y - 40 = 0$.

Для нахождения координат $(x'; y')$ изображения точки $(x_0; y_0)$ относительно прямой $Ax+By+C=0$ используем формулы:

$x' = x_0 + A \cdot k$, $y' = y_0 + B \cdot k$, где $k = -2\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$.

Для источника S$(2; 5)$ и зеркала M₂ ($A=4, B=5, C=-40$):

$k = -2 \cdot \frac{4(2) + 5(5) - 40}{4^2 + 5^2} = -2 \cdot \frac{8 + 25 - 40}{16 + 25} = -2 \cdot \frac{-7}{41} = \frac{14}{41}$.

$x_2 = 2 + 4 \cdot \frac{14}{41} = 2 + \frac{56}{41} = \frac{82+56}{41} = \frac{138}{41}$.

$y_2 = 5 + 5 \cdot \frac{14}{41} = 5 + \frac{70}{41} = \frac{205+70}{41} = \frac{275}{41}$.

Координаты изображения S₂: $(\frac{138}{41}; \frac{275}{41})$.

Точка отражения на зеркале M₂ является серединой отрезка SS₂. Ее координата $x$ равна $\frac{2 + 138/41}{2} = \frac{110}{41} \approx 2.68$. Так как $0 \le \frac{110}{41} \le 5$, точка отражения лежит на зеркале, и изображение S₂ существует.

2. Изображения второго порядка

Изображение S₁₂ (отражение S₁ в зеркале M₂)

Теперь S₁$(2; 3)$ является объектом для зеркала M₂ ($4x + 5y - 40 = 0$).

$k = -2 \cdot \frac{4(2) + 5(3) - 40}{4^2 + 5^2} = -2 \cdot \frac{8 + 15 - 40}{41} = -2 \cdot \frac{-17}{41} = \frac{34}{41}$.

$x_{12} = 2 + 4 \cdot \frac{34}{41} = 2 + \frac{136}{41} = \frac{82+136}{41} = \frac{218}{41}$.

$y_{12} = 3 + 5 \cdot \frac{34}{41} = 3 + \frac{170}{41} = \frac{123+170}{41} = \frac{293}{41}$.

Координаты изображения S₁₂: $(\frac{218}{41}; \frac{293}{41})$.

Координата $x$ точки отражения на M₂: $\frac{2 + 218/41}{2} = \frac{150}{41} \approx 3.66$. Так как $0 \le \frac{150}{41} \le 5$, точка отражения лежит на зеркале, и изображение S₁₂ существует.

Изображение S₂₁ (отражение S₂ в зеркале M₁)

Объект S₂$(\frac{138}{41}; \frac{275}{41})$ отражается в зеркале M₁ ($y=4$).

Координата $x$ остается прежней: $x_{21} = \frac{138}{41}$.

Координата $y$ становится $y_{21} = 4 - (\frac{275}{41} - 4) = 8 - \frac{275}{41} = \frac{328-275}{41} = \frac{53}{41}$.

Координаты изображения S₂₁: $(\frac{138}{41}; \frac{53}{41})$.

Точка отражения на M₁ имеет координаты $(\frac{138}{41}; 4)$. Так как $0 \le \frac{138}{41} \approx 3.37 \le 5$, точка отражения лежит на зеркале, и изображение S₂₁ существует.

3. Изображения третьего порядка

Проверим возможность дальнейших отражений.

Отражение S₁₂ в зеркале M₁: точка отражения на M₁ имела бы $x$-координату, равную $x_{12} = \frac{218}{41} \approx 5.32$. Это значение выходит за пределы зеркала ($x \in [0, 5]$), поэтому такое изображение не образуется.

Отражение S₂₁ в зеркале M₂: найдем $x$-координату точки отражения S₂₁ в M₂. Она равна $\frac{8950}{1681} \approx 5.32$. Это значение выходит за пределы зеркала ($x \in [0, 5]$), поэтому такое изображение также не образуется.

Таким образом, существует всего четыре изображения источника.

Ответ:

Всего существует четыре изображения источника S. Их координаты:

S₁: $(2; 3)$

S₂: $(\frac{138}{41}; \frac{275}{41})$

S₁₂: $(\frac{218}{41}; \frac{293}{41})$

S₂₁: $(\frac{138}{41}; \frac{53}{41})$