Номер 370, страница 116 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

370. Плоское зеркало перемещают по направлению нормали со скоростью, модуль которой $v=1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$. Определите модуль скорости, с которой должен двигаться вдоль нормали к зеркалу точечный источник света, чтобы его изображение в плоском зеркале:

а) было неподвижным относительно земли;

б) двигалось от зеркала относительно земли со скоростью, модуль которой $v_1=1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

Дано:

$v = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

$v_1 = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$ (для пункта б)

Перевод в систему СИ:

$v = 0.01 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 = 0.01 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

а) $u_a$ - модуль скорости источника, чтобы изображение было неподвижно.

б) $u_b$ - модуль скорости источника, чтобы изображение двигалось от зеркала со скоростью $v_1$.

Решение:

Введем систему отсчета, связанную с Землей. Ось $Ox$ направим по нормали к зеркалу. Положение источника в этой системе будет $x_{ист}$, положение зеркала $x_з$, а положение изображения $x_{из}$. Для плоского зеркала расстояние от источника до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения. Это означает, что координата зеркала всегда является средним арифметическим координат источника и изображения:

$x_з = \frac{x_{ист} + x_{из}}{2}$

Для нахождения связи между скоростями продифференцируем это выражение по времени. Скорость — это производная от координаты по времени ($v_x = \frac{dx}{dt}$).

$v_з = \frac{v_{ист} + v_{из}}{2}$

где $v_з$, $v_{ист}$ и $v_{из}$ — это скорости зеркала, источника и изображения соответственно в системе отсчета, связанной с Землей. Из этой формулы выразим искомую скорость источника $v_{ист}$:

$v_{ист} = 2v_з - v_{из}$

Будем считать, что зеркало движется в положительном направлении оси $Ox$, тогда его скорость $v_з = v = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

а) было неподвижным относительно земли

По условию, изображение должно быть неподвижным относительно Земли. Это значит, что скорость изображения $v_{из} = 0$.

Подставим это значение в нашу формулу для скорости источника:

$v_{ист} = 2v_з - 0 = 2v_з$

Теперь подставим числовое значение скорости зеркала $v = v_з = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$:

$v_{ист} = 2 \cdot 1 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 2 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Положительный знак означает, что источник должен двигаться в том же направлении, что и зеркало. Модуль скорости равен $2 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

Ответ: источник должен двигаться в том же направлении, что и зеркало, со скоростью $2 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

б) двигалось от зеркала относительно земли со скоростью, модуль которой $v_1 = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Условие "двигалось от зеркала" означает, что скорость изображения относительно зеркала направлена от него. Скорость изображения относительно зеркала равна $v_{из/з} = v_{из} - v_з$. Поскольку зеркало движется в положительном направлении, движение изображения "от зеркала" также будет происходить в положительном направлении, поэтому $v_{из/з} = v_1$.

$v_{из} - v_з = v_1$

Отсюда находим скорость изображения относительно Земли:

$v_{из} = v_з + v_1$

Теперь подставим это выражение в основную формулу для скорости источника:

$v_{ист} = 2v_з - v_{из} = 2v_з - (v_з + v_1) = v_з - v_1$

Подставим числовые значения $v_з = v = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$ и $v_1 = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$:

$v_{ист} = 1 \frac{\text{см}}{\text{с}} - 1 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0$

Таким образом, чтобы изображение двигалось от зеркала со скоростью $1 \frac{\text{см}}{\text{с}}$, источник должен быть неподвижным относительно Земли.

Ответ: источник должен быть неподвижным относительно Земли ($0 \frac{\text{см}}{\text{с}}$).