Номер 361, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

361. На рисунке 91 изображены точечный источник света $S$, плоское зеркало $AB$ и дорога, по которой из точки $C$ в точку $D$ идет человек. Укажите начальную и конечную координаты участка пути, на котором человек будет видеть два источника света.

$y$, м

Рис. 91

Дано:

Точечный источник света S с координатами, определенными по рисунку: $S(5; 5)$.

Плоское зеркало, представленное отрезком AB с координатами концов $A(3; 6)$ и $B(5; 6)$.

Дорога, по которой идет человек, представлена отрезком CD с координатами концов $C(1; 0)$ и $D(1; 8)$.

Движение человека происходит из точки C в точку D.

Найти:

Начальную и конечную координаты участка пути, на котором человек будет видеть два источника света.

Решение:

Человек будет видеть два источника света, если он одновременно видит реальный источник света S и его мнимое изображение S' в плоском зеркале AB.

1. Видимость реального источника S.

Между дорогой CD и источником S нет никаких препятствий. Следовательно, человек видит реальный источник S на всем пути от C до D.

2. Видимость мнимого изображения S'.

Для определения области видимости мнимого изображения сначала найдем его координаты. Мнимое изображение S' в плоском зеркале симметрично источнику S относительно плоскости зеркала.

Зеркало AB лежит на прямой $y = 6$. Источник S имеет координаты $(5; 5)$.

Координата $x$ изображения будет такой же, как у источника: $x_{S'} = x_S = 5$.

Расстояние от источника S до прямой $y=6$ равно $|6 - 5| = 1$. Изображение S' будет находиться на таком же расстоянии с другой стороны зеркала. Таким образом, координата $y$ изображения будет $y_{S'} = 6 + (6 - 5) = 7$.

Координаты мнимого изображения: $S'(5; 7)$.

Человек, находящийся в точке P на дороге, видит изображение S', если прямая, соединяющая точку P и изображение S', пересекает отрезок зеркала AB.

Пусть человек находится в точке $P(1; y_P)$, где $0 \le y_P \le 8$. Область видимости изображения S' на дороге ограничена лучами, выходящими из S' и проходящими через края зеркала A и B.

Найдем точки пересечения этих лучей с дорогой (прямой $x = 1$).

Луч S'A проходит через точки $S'(5; 7)$ и $A(3; 6)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид: $\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

$\frac{y - 7}{x - 5} = \frac{6 - 7}{3 - 5} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Подставим координату дороги $x = 1$, чтобы найти соответствующую координату $y$, где луч пересекает дорогу:

$\frac{y - 7}{1 - 5} = \frac{1}{2}$

$\frac{y - 7}{-4} = \frac{1}{2}$

$y - 7 = -2$

$y = 5$

Таким образом, луч S'A пересекает дорогу в точке $(1; 5)$. Это одна из границ участка видимости.

Луч S'B проходит через точки $S'(5; 7)$ и $B(5; 6)$. Так как x-координаты этих точек одинаковы ($x=5$), этот луч является вертикальной прямой $x = 5$. Эта прямая параллельна дороге $x = 1$ и не пересекает ее.

Это означает, что участок видимости на дороге ограничен только лучом S'A. Определим, с какой стороны от точки $(1; 5)$ человек видит изображение. Возьмем любую точку на пути человека, например, начальную точку $C(1; 0)$.

Проведем прямую через $S'(5; 7)$ и $C(1; 0)$ и найдем, где она пересекает плоскость зеркала $y=6$.

$\frac{y - 7}{x - 5} = \frac{0 - 7}{1 - 5} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$

Подставим $y = 6$:

$\frac{6 - 7}{x - 5} = \frac{7}{4}$

$\frac{-1}{x - 5} = \frac{7}{4}$

$-4 = 7(x - 5)$

$-4 = 7x - 35$

$31 = 7x$

$x = \frac{31}{7} \approx 4.43$

Координаты зеркала по оси x лежат в интервале $[3; 5]$. Так как $3 \le 4.43 \le 5$, точка пересечения находится на зеркале. Следовательно, в точке $C(1; 0)$ человек видит мнимое изображение.

Человек движется из точки C вверх. Он будет видеть изображение, пока его координата $y$ не достигнет значения 5. При $y > 5$ луч, соединяющий человека и мнимое изображение S', будет пересекать прямую $y=6$ в точке с координатой $x < 3$, то есть вне зеркала.

Таким образом, человек видит два источника света (реальный S и мнимый S') на участке пути от точки своего старта $C(1; 0)$ до точки с координатами $(1; 5)$.

Начальная координата участка: $(1; 0)$.

Конечная координата участка: $(1; 5)$.

Ответ: Начальная координата участка (1; 0), конечная координата (1; 5).