Номер 383, страница 120 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

383. *В торговом зале установлено обзорное выпуклое сферическое зеркало радиусом $R = 6,0 \text{ м}$ (рис. 102). Покупатель ростом $h = 1,8 \text{ м}$ находится в торговом зале на расстоянии $d = 7,0 \text{ м}$ от зеркала. Определите высоту изображения покупателя в зеркале.

Рис. 102

Дано:

Радиус кривизны выпуклого зеркала $R = 6,0 \text{ м}$

Рост покупателя $h = 1,8 \text{ м}$

Расстояние от покупателя до зеркала $d = 7,0 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высоту изображения покупателя $h'

Решение:

Для определения высоты изображения воспользуемся формулой сферического зеркала и формулой линейного увеличения.

Формула сферического зеркала связывает расстояние от предмета до зеркала $d$, расстояние от изображения до зеркала $f'$ и фокусное расстояние зеркала $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Фокусное расстояние сферического зеркала равно половине его радиуса кривизны:

$F = \frac{R}{2}$

Поскольку зеркало выпуклое (рассеивающее), его фокусное расстояние считается отрицательным. Рассчитаем его:

$F = -\frac{R}{2} = -\frac{6,0 \text{ м}}{2} = -3,0 \text{ м}$

Теперь из формулы зеркала найдем расстояние от изображения до зеркала $f'$:

$\frac{1}{f'} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{F \cdot d}$

Отсюда:

$f' = \frac{F \cdot d}{d - F}$

Подставим числовые значения:

$f' = \frac{-3,0 \text{ м} \cdot 7,0 \text{ м}}{7,0 \text{ м} - (-3,0 \text{ м})} = \frac{-21,0 \text{ м}^2}{7,0 \text{ м} + 3,0 \text{ м}} = \frac{-21,0 \text{ м}^2}{10,0 \text{ м}} = -2,1 \text{ м}$

Отрицательное значение $f'$ означает, что изображение является мнимым и расположено за зеркалом.

Линейное увеличение $\Gamma$ равно отношению высоты изображения $h'$ к высоте предмета $h$, а также отношению расстояний до изображения и предмета:

$\Gamma = \frac{h'}{h} = -\frac{f'}{d}$

Выразим из этой формулы искомую высоту изображения $h'$:

$h' = h \cdot \left(-\frac{f'}{d}\right)$

Подставим известные значения и рассчитаем $h'$:

$h' = 1,8 \text{ м} \cdot \left(-\frac{-2,1 \text{ м}}{7,0 \text{ м}}\right) = 1,8 \text{ м} \cdot \frac{2,1}{7,0} = 1,8 \text{ м} \cdot 0,3 = 0,54 \text{ м}$

Положительное значение $h'$ говорит о том, что изображение прямое (неперевернутое).

Ответ: высота изображения покупателя в зеркале равна 0,54 м.