Номер 386, страница 120 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

386. *С помощью вогнутого сферического зеркала получили действительное изображение, которое в $\Gamma = 3,0$ раза больше предмета. Определите фокусное расстояние зеркала, если расстояние между предметом и его изображением $l = 20$ см.

Дано:

Линейное увеличение, $Γ = 3.0$
Расстояние между предметом и изображением, $l = 20$ см

$l = 0.20$ м

Найти:

Фокусное расстояние зеркала, $F$

Решение:

По условию задачи, изображение, создаваемое вогнутым зеркалом, является действительным. Для вогнутого зеркала действительное изображение является перевернутым и находится с той же стороны от зеркала, что и предмет.

Линейное увеличение зеркала $Γ$ определяется как отношение расстояния от зеркала до изображения ($f$) к расстоянию от зеркала до предмета ($d$):
$Γ = \frac{f}{d}$
Из этой формулы выразим расстояние до изображения:
$f = Γ \cdot d$

Так как изображение увеличенное ($Γ=3.0 > 1$), то $f > d$. Предмет находится между фокусом и центром кривизны, а изображение — за центром кривизны. Расстояние между предметом и изображением $l$ будет равно разности их расстояний от зеркала:
$l = f - d$
Подставим в это уравнение выражение для $f$:
$l = (Γ \cdot d) - d = d(Γ - 1)$

Теперь мы можем найти расстояние от предмета до зеркала, $d$:
$d = \frac{l}{Γ - 1} = \frac{0.20 \text{ м}}{3.0 - 1} = \frac{0.20 \text{ м}}{2.0} = 0.10$ м

Зная $d$, вычислим расстояние от изображения до зеркала, $f$:
$f = Γ \cdot d = 3.0 \cdot 0.10 \text{ м} = 0.30$ м

Для определения фокусного расстояния $F$ воспользуемся формулой тонкой линзы (которая также применима для сферических зеркал):
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
Подставим найденные значения $d$ и $f$:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.10 \text{ м}} + \frac{1}{0.30 \text{ м}}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{F} = \frac{3}{0.30 \text{ м}} + \frac{1}{0.30 \text{ м}} = \frac{4}{0.30 \text{ м}}$
Отсюда находим фокусное расстояние $F$:
$F = \frac{0.30 \text{ м}}{4} = 0.075$ м

Переведем результат в сантиметры: $F = 7.5$ см.

Ответ: фокусное расстояние зеркала равно 7,5 см.