Номер 392, страница 122 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

392. *С помощью вогнутого сферического зеркала с радиусом кривизны $R = 120$ см получили прямое изображение предмета с увеличением $\Gamma = 4$. Определите, на каком расстоянии от зеркала находится предмет.

Дано:

Радиус кривизны вогнутого зеркала $R = 120$ см
Увеличение $\Gamma = 4$
Изображение прямое

Перевод в систему СИ:
$R = 1,2$ м

Найти:

Расстояние от предмета до зеркала $d$ — ?

Решение:

Фокусное расстояние $F$ вогнутого сферического зеркала связано с его радиусом кривизны $R$ соотношением:

$F = R/2$

Подставим значение радиуса кривизны:

$F = 120 \text{ см} / 2 = 60 \text{ см}$

Для вогнутого зеркала фокусное расстояние считается положительным ($F > 0$).

В условии сказано, что изображение прямое. Прямое изображение, даваемое вогнутым зеркалом, всегда является мнимым и увеличенным. Это происходит в том случае, когда предмет находится между фокусом и зеркалом ($d < F$).

Линейное увеличение зеркала $\Gamma$ связано с расстоянием от предмета до зеркала $d$ и расстоянием от изображения до зеркала $f$ следующей формулой:

$\Gamma = -f/d$

Поскольку изображение прямое, увеличение является положительным числом, $\Gamma = 4$. Выразим отсюда расстояние до изображения $f$:

$4 = -f/d \implies f = -4d$

Отрицательный знак у $f$ подтверждает, что изображение мнимое (находится за зеркалом).

Теперь воспользуемся формулой сферического зеркала:

$1/F = 1/d + 1/f$

Подставим в эту формулу известные значения $F$ и выражение для $f$:

$1/60 = 1/d + 1/(-4d)$

$1/60 = 1/d - 1/(4d)$

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю:

$1/60 = (4 - 1)/(4d) = 3/(4d)$

Из полученной пропорции найдем $d$:

$4d = 3 \cdot 60$

$4d = 180$

$d = 180 / 4 = 45 \text{ см}$

Найденное расстояние $d = 45$ см меньше фокусного расстояния $F = 60$ см, что соответствует условию получения прямого, мнимого и увеличенного изображения в вогнутом зеркале.

Ответ: предмет находится на расстоянии 45 см от зеркала.