Номер 391, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

391. *На горе Олимп в Греции от сферического зеркала зажигают огонь олимпийского факела (рис. 103). Определите:

а) фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, если факел и его действительное изображение отстоят от главного фокуса зеркала на расстояниях $l_1 = 8,0$ см и $l_2 = 72,0$ см соответственно;

б) диаметр изображения Солнца, полученного с помощью этого зеркала, если диаметр Солнца $D = 1,4 \cdot 10^6$ км, расстояние от Земли до Солнца $L = 1,5 \cdot 10^8$ км.

Рис. 103

а)

Дано:
Расстояние от главного фокуса до факела $l_1 = 8,0$ см
Расстояние от главного фокуса до изображения $l_2 = 72,0$ см

Перевод в систему СИ:
$l_1 = 0,080$ м
$l_2 = 0,720$ м

Найти:
Фокусное расстояние зеркала $F$ – ?

Решение:
Для нахождения фокусного расстояния вогнутого сферического зеркала можно использовать формулу Ньютона. Эта формула связывает фокусное расстояние зеркала $F$ с расстояниями от главного фокуса до предмета $l_1$ и до его действительного изображения $l_2$.
Формула Ньютона для зеркала имеет вид:
$F^2 = l_1 \cdot l_2$
Отсюда можно выразить фокусное расстояние:
$F = \sqrt{l_1 \cdot l_2}$
Подставим данные значения в формулу. Расчет удобнее произвести в сантиметрах:
$F = \sqrt{8,0 \text{ см} \cdot 72,0 \text{ см}} = \sqrt{576} \text{ см} = 24$ см.

Ответ: фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала равно 24 см.

б)

Дано:
Диаметр Солнца $D = 1,4 \cdot 10^6$ км
Расстояние от Земли до Солнца $L = 1,5 \cdot 10^8$ км
Фокусное расстояние зеркала $F = 24$ см (из пункта а)

Перевод в систему СИ:
$D = 1,4 \cdot 10^9$ м
$L = 1,5 \cdot 10^{11}$ м
$F = 0,24$ м

Найти:
Диаметр изображения Солнца $d_{из}$ – ?

Решение:
Так как Солнце находится на очень большом расстоянии от зеркала ($L$) по сравнению с его фокусным расстоянием ($F$), лучи света, приходящие от Солнца, можно считать практически параллельными. Изображение очень удаленного объекта формируется в фокальной плоскости зеркала. Это означает, что расстояние от зеркала до изображения $f$ практически равно фокусному расстоянию $F$.
$f \approx F$
Линейное увеличение зеркала $\Gamma$ равно отношению размера изображения $d_{из}$ к размеру объекта $D$, а также отношению расстояния от зеркала до изображения $f$ к расстоянию от зеркала до объекта $L$:
$\Gamma = \frac{d_{из}}{D} = \frac{f}{L}$
Заменяя $f$ на $F$, получаем:
$\frac{d_{из}}{D} \approx \frac{F}{L}$
Отсюда выражаем диаметр изображения Солнца:
$d_{из} \approx D \cdot \frac{F}{L}$
Подставим числовые значения. Так как отношение $D/L$ является безразмерной величиной, мы можем оставить $F$ в сантиметрах, чтобы получить ответ в сантиметрах.
$d_{из} = (24 \text{ см}) \cdot \frac{1,4 \cdot 10^6 \text{ км}}{1,5 \cdot 10^8 \text{ км}} = 24 \cdot \frac{1,4}{150} = \frac{33,6}{150} = 0,224$ см.
Для наглядности переведем результат в миллиметры:
$0,224 \text{ см} = 2,24$ мм.

Ответ: диаметр изображения Солнца, полученного с помощью этого зеркала, равен 2,24 мм.