Номер 397, страница 122 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

397. *Вогнутое сферическое зеркало дает действительное изображение, которое в $k_1 = 4$ раза меньше предмета. Если предмет передвинуть на расстояние $l = 10 \text{ см}$ ближе к зеркалу, то изображение останется действительным, но меньше предмета в $k_2 = 2$ раза. Определите фокусное расстояние зеркала.

Дано:

$k_1 = 4$

$k_2 = 2$

$l = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Используем формулу тонкой линзы (сферического зеркала) и формулу линейного увеличения.

Формула сферического зеркала: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до зеркала, $f$ — расстояние от изображения до зеркала, $F$ — фокусное расстояние.

Формула линейного увеличения: $\Gamma = \frac{H}{h} = -\frac{f}{d}$, где $H$ — высота изображения, $h$ — высота предмета.

В условии задачи дано, во сколько раз изображение меньше предмета, то есть $k = \frac{h}{H}$. Следовательно, увеличение $\Gamma = \frac{1}{k}$. Поскольку в обоих случаях изображение действительное, оно является перевернутым, поэтому увеличение будет отрицательным: $\Gamma = -\frac{1}{k}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1:

Пусть начальное расстояние от предмета до зеркала равно $d_1$. Увеличение в этом случае $\Gamma_1 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{4}$.

Из формулы увеличения: $\Gamma_1 = -\frac{f_1}{d_1}$, откуда $-\frac{1}{4} = -\frac{f_1}{d_1}$, следовательно, $f_1 = \frac{d_1}{4}$.

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_1/4} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_1} + \frac{4}{d_1} = \frac{1}{F}$

$\frac{5}{d_1} = \frac{1}{F}$, откуда $d_1 = 5F$.

Случай 2:

Предмет передвинули на расстояние $l$ ближе к зеркалу. Новое расстояние от предмета до зеркала $d_2 = d_1 - l$.

Увеличение в этом случае $\Gamma_2 = -\frac{1}{k_2} = -\frac{1}{2}$.

Из формулы увеличения: $\Gamma_2 = -\frac{f_2}{d_2}$, откуда $-\frac{1}{2} = -\frac{f_2}{d_2}$, следовательно, $f_2 = \frac{d_2}{2}$.

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_2/2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_2} + \frac{2}{d_2} = \frac{1}{F}$

$\frac{3}{d_2} = \frac{1}{F}$, откуда $d_2 = 3F$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1) $d_1 = 5F$

2) $d_2 = 3F$

3) $d_2 = d_1 - l$

Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$ из первых двух уравнений в третье:

$3F = 5F - l$

$2F = l$

$F = \frac{l}{2}$

Подставим числовое значение $l = 10$ см:

$F = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: Фокусное расстояние зеркала равно 5 см.