Номер 401, страница 123 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

401. Перед водителем на расстоянии $L = 70$ см от него находится небольшое плоское зеркало. Определите радиус кривизны выпуклого зеркала, которым следует заменить плоское зеркало, чтобы увеличить угол обзора в два раза при неизменных размерах зеркала.

Дано:

$L = 70$ см

В системе СИ:
$L = 0.7$ м

Найти:

$R$ - радиус кривизны выпуклого зеркала.

Решение:

Угол обзора в зеркале определяется угловым размером области, которую можно увидеть через это зеркало. Будем считать, что размеры зеркала малы по сравнению с расстоянием до него, что позволяет использовать приближение малых углов.

1. Угол обзора в плоском зеркале.
Пусть $d$ — поперечный размер (например, диаметр) зеркала. Угол обзора $2\alpha_1$ для плоского зеркала определяется лучами, идущими от краев поля зрения и отражающимися от краев зеркала в глаз наблюдателя. Проще всего определить этот угол, рассмотрев мнимое изображение глаза наблюдателя. В плоском зеркале мнимое изображение находится на том же расстоянии за зеркалом, что и объект перед ним, то есть на расстоянии $L$. Тогда угол обзора — это угол, под которым из точки мнимого изображения видно само зеркало.

Для малых углов, полный угол обзора $2\alpha_1$ можно выразить как отношение размера зеркала к расстоянию до мнимого изображения:

$2\alpha_1 \approx \frac{d}{L}$

2. Угол обзора в выпуклом зеркале.
При замене плоского зеркала на выпуклое с радиусом кривизны $R$, положение мнимого изображения глаза изменится. Найдем новое расстояние $|L'|$ до мнимого изображения, используя формулу для сферического зеркала:

$\frac{1}{L} + \frac{1}{L'} = \frac{1}{F}$

Здесь $L$ — расстояние до объекта (глаза), $L'$ — расстояние до изображения. Для выпуклого зеркала фокусное расстояние $F$ отрицательно и связано с радиусом кривизны как $F = -R/2$. Расстояние до мнимого изображения $L'$ также будет отрицательным.

$\frac{1}{L} + \frac{1}{L'} = -\frac{2}{R}$

Выразим $L'$:

$\frac{1}{L'} = -\frac{2}{R} - \frac{1}{L} = -\frac{2L+R}{RL}$

Отсюда расстояние от зеркала до мнимого изображения равно:

$|L'| = \frac{RL}{R+2L}$

Новый угол обзора $2\alpha_2$ определяется так же, как и для плоского зеркала, но с использованием нового расстояния до мнимого изображения $|L'|$:

$2\alpha_2 \approx \frac{d}{|L'|} = \frac{d(R+2L)}{RL}$

3. Нахождение радиуса кривизны.
По условию задачи, новый угол обзора должен быть в два раза больше исходного:

$2\alpha_2 = 2 \cdot (2\alpha_1)$

Подставим полученные выражения для углов:

$\frac{d(R+2L)}{RL} = 2 \cdot \frac{d}{L}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{d}{L}$ (так как $d \neq 0$ и $L \neq 0$):

$\frac{R+2L}{R} = 2$

$R + 2L = 2R$

$R = 2L$

4. Вычисление.
Подставим заданное значение $L$:

$R = 2 \cdot 70 \text{ см} = 140 \text{ см}$

Ответ: Радиус кривизны выпуклого зеркала должен быть равен 140 см.