Номер 405, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

405. *На главной оптической оси вогнутого зеркала помещали предмет и измеряли расстояние $l$ от зеркала до действительного изображения предмета, а также высоту $h$ этого изображения. График зависимости $h$ от $l$ представлен на рисунке 107. Определите:

а) радиус кривизны зеркала;

б) высоту предмета.

Рис. 107

Дано:

Из графика зависимости высоты изображения $h$ от расстояния до него $l$ для вогнутого зеркала возьмем две точки:

Точка 1: $l_1 = 30$ см, $h_1 = 2$ см.

Точка 2: $l_2 = 50$ см, $h_2 = 6$ см.

$l_1 = 0.3$ м
$h_1 = 0.02$ м
$l_2 = 0.5$ м
$h_2 = 0.06$ м

Найти:

а) $R$ - ?

б) $H$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем формулу тонкой линзы (которая справедлива и для сферических зеркал) и формулу линейного увеличения.

Формула для вогнутого зеркала: $\frac{1}{d} + \frac{1}{l} = \frac{1}{F}$, где $d$ – расстояние от предмета до зеркала, $l$ – расстояние от изображения до зеркала, $F$ – фокусное расстояние зеркала.

Формула линейного увеличения: $\Gamma = \frac{h}{H} = \frac{l}{d}$, где $h$ – высота изображения, $H$ – высота предмета.

Из формулы увеличения выразим расстояние до предмета $d$: $d = \frac{lH}{h}$.

Подставим это выражение в формулу зеркала:

$\frac{1}{\frac{lH}{h}} + \frac{1}{l} = \frac{1}{F}$

$\frac{h}{lH} + \frac{1}{l} = \frac{1}{F}$

Выразим высоту изображения $h$ как функцию от расстояния $l$:

$\frac{h}{lH} = \frac{1}{F} - \frac{1}{l} = \frac{l - F}{lF}$

$h = lH \cdot \frac{l-F}{lF} = \frac{H}{F}(l-F) = \frac{H}{F}l - H$

Полученное уравнение $h(l) = \frac{H}{F}l - H$ является уравнением прямой вида $y = kx + b$, где:

• угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k = \frac{H}{F}$
• смещение (точка пересечения с осью ординат) $b = -H$

По данным графика найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{\Delta h}{\Delta l} = \frac{h_2 - h_1}{l_2 - l_1} = \frac{6 \text{ см} - 2 \text{ см}}{50 \text{ см} - 30 \text{ см}} = \frac{4 \text{ см}}{20 \text{ см}} = 0.2$

Таким образом, $\frac{H}{F} = 0.2$.

Теперь найдем смещение $b$. Для этого продолжим график до пересечения с осью $h$ (при $l=0$). Используем уравнение прямой, проходящей через точку $(l_1, h_1)$ с известным коэффициентом $k$:

$h - h_1 = k(l - l_1)$

$h - 2 = 0.2(l - 30)$

$h = 0.2l - 0.2 \cdot 30 + 2 = 0.2l - 6 + 2 = 0.2l - 4$

Сравнивая это уравнение с $h(l) = \frac{H}{F}l - H$, видим, что смещение $b = -4$ см.

Так как $b = -H$, то $-H = -4$ см, откуда $H = 4$ см.

Теперь, зная $H$ и $k$, найдем фокусное расстояние $F$:

$k = \frac{H}{F} \implies F = \frac{H}{k} = \frac{4 \text{ см}}{0.2} = 20$ см.

Радиус кривизны зеркала $R$ связан с фокусным расстоянием соотношением $R = 2F$.

$R = 2 \cdot 20 \text{ см} = 40$ см.

а) радиус кривизны зеркала;

Фокусное расстояние зеркала $F = 20$ см. Радиус кривизны $R = 2F = 2 \cdot 20 \text{ см} = 40$ см.

Ответ: $40$ см.

б) высоту предмета.

Высота предмета $H$ определяется из смещения графика $b = -H$. Из уравнения прямой $h = 0.2l - 4$ следует, что $b = -4$ см. Таким образом, $H = 4$ см.

Ответ: $4$ см.