Номер 410, страница 127 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

410. На рисунках 111 и 112 изображен параллельный световой пучок, преломленный на границе раздела сред с абсолютными показателями преломления $n_1$ и $n_2$. Приведите в соответствие участки, знак отношения между длинами участков и знак отношения между временем распространения света вдоль этих участков.

Участки

Знак отношения между длинами участков

Знак отношения между временем распространения света вдоль участков

А) MQ и NP. 1)< 1)<

Б) AF и BC. 2)> 2)>

В) FE и CD. 3)= 3)=

Г)AFE и BCD

Рис. 111

Рис. 112

Для решения данной задачи воспользуемся принципом Гюйгенса и основными законами геометрической оптики. Скорость света в среде с показателем преломления $n$ равна $v = c/n$, где $c$ – скорость света в вакууме. Время прохождения светом участка длиной $L$ равно $t = L/v = Ln/c$. Оптическая длина пути равна $nL$. Согласно принципу Ферма, время прохождения света между двумя волновыми фронтами одинаково для всех лучей.

На рисунке 111 свет переходит из среды с показателем преломления $n_1$ в среду с показателем $n_2$. Угол преломления больше угла падения, следовательно, $n_1 > n_2$.

На рисунке 112 свет также переходит между средами, но угол преломления меньше угла падения, следовательно, $n_1 < n_2$.

А) MQ и NP.

Эти участки показаны на рисунке 112. Данная схема иллюстрирует построение Гюйгенса для преломленного волнового фронта. Волновой фронт MN падает на границу раздела сред. Пока свет от точки N доходит до точки P на границе, двигаясь в первой среде, вторичная волна от точки M распространяется во второй среде, достигая точки Q. По построению Гюйгенса, время движения света по этим участкам одинаково:

$t_{NP} = t_{MQ}$

Следовательно, знак отношения между временем распространения — «=» (3).

Теперь сравним длины участков. Так как $t = L/v$, то $L = vt$.

$NP = v_1 \cdot t_{NP}$

$MQ = v_2 \cdot t_{MQ}$

Поскольку $t_{NP} = t_{MQ}$, отношение длин равно отношению скоростей:

$\frac{MQ}{NP} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{c/n_2}{c/n_1} = \frac{n_1}{n_2}$

На рисунке 112 луч преломляется, приближаясь к нормали, значит, свет переходит в оптически более плотную среду, то есть $n_2 > n_1$. Отсюда следует, что $\frac{n_1}{n_2} < 1$, и, следовательно, $MQ < NP$.

Знак отношения между длинами участков — «<» (1).

Ответ: Для участков MQ и NP знак отношения между длинами — 1) <, знак отношения между временем распространения — 3) =.

Б) AF и BC.

Эти участки показаны на рисунке 111. AB — волновой фронт, то есть линия, перпендикулярная падающим лучам. AF и BC — отрезки параллельных лучей от волнового фронта AB до границы раздела сред FC.

Рассмотрим разность длин этих отрезков. Можно показать с помощью векторного или геометрического анализа, что разность длин $BC - AF$ связана с расстоянием FC и углом падения $\theta_1$:

$BC - AF = FC \cdot \sin\theta_1$

Так как $FC > 0$ и $\theta_1 > 0$, то $BC - AF > 0$, откуда $BC > AF$ или $AF < BC$.

Знак отношения между длинами участков — «<» (1).

Время распространения света на этих участках проходит в одной и той же среде с показателем $n_1$, поэтому скорость $v_1$ одинакова.

$t_{AF} = AF/v_1$

$t_{BC} = BC/v_1$

Поскольку $AF < BC$, то и $t_{AF} < t_{BC}$.

Знак отношения между временем распространения — «<» (1).

Ответ: Для участков AF и BC знак отношения между длинами — 1) <, знак отношения между временем распространения — 1) <.

В) FE и CD.

Эти участки показаны на рисунке 111. ED — волновой фронт преломленных лучей. FE и CD — отрезки параллельных преломленных лучей от границы раздела сред FC до волнового фронта ED.

Аналогично предыдущему пункту, можно показать, что разность длин $FE - CD$ связана с расстоянием FC и углом преломления $\theta_2$:

$FE - CD = FC \cdot \sin\theta_2$

Так как $FC > 0$ и $\theta_2 > 0$, то $FE - CD > 0$, откуда $FE > CD$.

Знак отношения между длинами участков — «>» (2).

Время распространения света на этих участках проходит во второй среде со скоростью $v_2$.

$t_{FE} = FE/v_2$

$t_{CD} = CD/v_2$

Поскольку $FE > CD$, то и $t_{FE} > t_{CD}$.

Знак отношения между временем распространения — «>» (2).

Ответ: Для участков FE и CD знак отношения между длинами — 2) >, знак отношения между временем распространения — 2) >.

Г) AFE и BCD.

Здесь сравниваются полные пути лучей между волновыми фронтами AB и ED.

Согласно принципу Ферма, время распространения света между двумя волновыми фронтами одинаково для всех лучей пучка. Путь AFE (от A до E через F) и путь BCD (от B до D через C) — это пути двух разных лучей между волновыми фронтами AB и ED.

Следовательно, время прохождения этих путей равно:

$t_{AFE} = t_{BCD}$

Знак отношения между временем распространения — «=» (3).

Теперь сравним длины путей $L_{AFE} = AF + FE$ и $L_{BCD} = BC + CD$.

Рассмотрим разность длин: $L_{AFE} - L_{BCD} = (AF - BC) + (FE - CD)$.

Из предыдущих пунктов мы знаем:

$AF - BC = -FC \cdot \sin\theta_1$

$FE - CD = FC \cdot \sin\theta_2$

Тогда разность длин равна:

$L_{AFE} - L_{BCD} = -FC \cdot \sin\theta_1 + FC \cdot \sin\theta_2 = FC(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$

На рисунке 111 свет переходит в оптически менее плотную среду, поэтому $n_1 > n_2$, и по закону Снеллиуса ($n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$) следует, что $\sin\theta_2 > \sin\theta_1$, а значит $\theta_2 > \theta_1$.

Поскольку $\sin\theta_2 > \sin\theta_1$, разность $(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$ положительна. Так как $FC > 0$, то и вся разность $L_{AFE} - L_{BCD}$ положительна.

$L_{AFE} > L_{BCD}$

Знак отношения между длинами участков — «>» (2).

Ответ: Для участков AFE и BCD знак отношения между длинами — 2) >, знак отношения между временем распространения — 3) =.