Номер 415, страница 130 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

415. Через призму, по обе стороны которой находятся среды с разными абсолютными показателями преломления $n_1$ и $n_2$, проходит световой луч (рис. 117). Определите соотношение (больше, меньше, равно) между показателями преломления сред и призмы:

а) $n_1$ и $n_3$;

б) $n_3$ и $n_2$;

в) $n_1$ и $n_2$.

Рис. 117

Для определения соотношения между показателями преломления воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса): $n_a \sin{\theta_a} = n_b \sin{\theta_b}$, где $n_a$ и $n_b$ — абсолютные показатели преломления сред, а $\theta_a$ и $\theta_b$ — углы падения и преломления соответственно (углы между лучом и нормалью к границе раздела сред).

Из этого закона следует, что при переходе луча из среды с меньшим показателем преломления в среду с большим показателем преломления (из оптически менее плотной в более плотную), луч преломляется, приближаясь к нормали, то есть угол преломления становится меньше угла падения. И наоборот, при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную, луч удаляется от нормали, и угол преломления становится больше угла падения.

а) $n_1$ и $n_3$

Рассмотрим преломление света на левой грани призмы (граница раздела сред $n_1$ и $n_3$). Мысленно построим перпендикуляр (нормаль) к этой грани в точке падения луча. Сравнивая направление падающего луча и преломленного луча (внутри призмы), можно увидеть, что луч, войдя в призму, отклонился так, что стал ближе к нормали. Это означает, что угол преломления меньше угла падения. Такое явление наблюдается при переходе света из оптически менее плотной среды в более плотную. Следовательно, показатель преломления вещества призмы $n_3$ больше показателя преломления первой среды $n_1$.

Ответ: $n_1 < n_3$ (меньше).

б) $n_3$ и $n_2$

Рассмотрим преломление света на правой грани призмы (граница раздела сред $n_3$ и $n_2$). Построим нормаль к этой грани в точке выхода луча. Теперь луч, идущий внутри призмы, является падающим, а луч, вышедший в среду $n_2$, — преломленным. Из рисунка видно, что вышедший луч отклоняется от нормали, то есть угол преломления больше угла падения. Это происходит при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. Таким образом, показатель преломления вещества призмы $n_3$ больше показателя преломления второй среды $n_2$.

Ответ: $n_3 > n_2$ (больше).

в) $n_1$ и $n_2$

Чтобы сравнить $n_1$ и $n_2$, запишем закон Снеллиуса для обеих граней призмы. Пусть $\alpha_1$ – угол падения на первую грань, $\beta_1$ – угол преломления. На второй грани $\alpha_2$ – угол падения, $\beta_2$ – угол преломления (угол выхода).

1. На первой грани: $n_1 \sin{\alpha_1} = n_3 \sin{\beta_1}$.

2. На второй грани: $n_3 \sin{\alpha_2} = n_2 \sin{\beta_2}$.

Из рисунка видно, что призма равнобедренная, а луч внутри нее распространяется горизонтально, то есть параллельно основанию. В силу симметрии, углы, которые луч образует с нормалями к граням внутри призмы, равны: $\beta_1 = \alpha_2$. Тогда мы можем объединить два уравнения:

$n_1 \sin{\alpha_1} = n_3 \sin{\beta_1} = n_3 \sin{\alpha_2} = n_2 \sin{\beta_2}$

Отсюда получаем соотношение: $n_1 \sin{\alpha_1} = n_2 \sin{\beta_2}$.

Теперь необходимо сравнить углы $\alpha_1$ и $\beta_2$. Визуально оценивая по клеткам на рисунке, можно заметить, что падающий слева луч образует с нормалью к левой грани больший угол ($\alpha_1$), чем выходящий справа луч с нормалью к правой грани ($\beta_2$). То есть, $\alpha_1 > \beta_2$, и, следовательно, $\sin{\alpha_1} > \sin{\beta_2}$. Чтобы равенство $n_1 \sin{\alpha_1} = n_2 \sin{\beta_2}$ выполнялось, необходимо, чтобы коэффициент при большем синусе был меньше. Таким образом, $n_1 < n_2$.

Ответ: $n_1 < n_2$ (меньше).