Номер 421, страница 132 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

421. Ход светового луча, который распространяется из воздуха в плексиглас, показан на рисунке 120. Определите длину волны света в плексигласе, если в воздухе длина волны $\lambda_{\text{В}} = 560 \text{ нм}$.

Рис. 120

Дано:

Среда 1 — воздух, среда 2 — плексиглас.

Длина волны света в воздухе $λ_в = 560$ нм.

Ход луча света показан на рисунке.

$λ_в = 560 \text{ нм} = 560 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Длину волны света в плексигласе $λ_п$.

Решение:

При переходе светового луча из одной оптической среды в другую его частота $ν$ остается неизменной. Длина волны $λ$ связана со скоростью распространения света в среде $v$ и частотой соотношением $v = λν$. Показатель преломления среды $n$ определяется как отношение скорости света в вакууме $c$ к скорости света в среде $v$: $n = \frac{c}{v}$.

Отсюда можно выразить длину волны через показатель преломления: $λ = \frac{v}{ν} = \frac{c}{nν}$.

Для воздуха (показатель преломления $n_в \approx 1$) и плексигласа (показатель преломления $n_п$) можно записать:

$λ_в = \frac{c}{n_в ν}$ и $λ_п = \frac{c}{n_п ν}$

Разделив второе выражение на первое, получим связь между длинами волн и показателями преломления:

$\frac{λ_п}{λ_в} = \frac{n_в}{n_п}$

Из этого соотношения выразим искомую длину волны в плексигласе:

$λ_п = λ_в \frac{n_в}{n_п}$

Отношение показателей преломления можно найти, применив закон преломления света (закон Снеллиуса) к границе раздела двух сред:

$n_в \sin(α) = n_п \sin(β)$

где $α$ — угол падения, а $β$ — угол преломления. Из закона Снеллиуса следует, что $\frac{n_в}{n_п} = \frac{\sin(β)}{\sin(α)}$.

Подставим это отношение в формулу для длины волны:

$λ_п = λ_в \frac{\sin(β)}{\sin(α)}$

Теперь определим синусы углов падения и преломления по данным из рисунка. Воспользуемся клетчатой сеткой, приняв сторону одной клетки за единицу длины. Построим прямоугольные треугольники, где падающий и преломленный лучи являются гипотенузами.

Для угла падения $α$: падающий луч смещается на 3 клетки по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Катеты соответствующего треугольника равны 3 и 3. Гипотенуза равна $\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Синус угла падения (отношение противолежащего катета к гипотенузе) равен:

$\sin(α) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для угла преломления $β$: преломленный луч смещается на 2 клетки по горизонтали и на 3 клетки по вертикали. Катеты равны 2 и 3. Гипотенуза равна $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$. Синус угла преломления равен:

$\sin(β) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Подставим найденные значения синусов в формулу для длины волны в плексигласе:

$λ_п = 560 \text{ нм} \cdot \frac{2/\sqrt{13}}{1/\sqrt{2}} = 560 \text{ нм} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$

Произведем вычисления:

$λ_п \approx 560 \cdot \frac{2 \cdot 1.414}{3.606} \approx 560 \cdot \frac{2.828}{3.606} \approx 560 \cdot 0.784 \approx 439.04 \text{ нм}$

Округляя результат, получаем длину волны в плексигласе.

Ответ: $λ_п \approx 439$ нм.