Номер 424, страница 132 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

424. Взаимно перпендикулярные лучи света 1 и 2 (рис. 121) распространяются в воздухе и попадают в жидкость. Угол преломления первого луча $\gamma_1 = 30^\circ$, второго $\gamma_2 = 26^\circ$. Определите абсолютный показатель преломления жидкости.

Рис. 121

Дано:

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)

$\gamma_1 = 30^\circ$

$\gamma_2 = 26^\circ$

Угол между падающими лучами 1 и 2 равен $90^\circ$.

Найти:

$n$ — абсолютный показатель преломления жидкости.

Решение:

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для каждого из двух лучей. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — углы падения первого и второго лучей соответственно, а $n$ — искомый показатель преломления жидкости. Показатель преломления воздуха $n_1$ принимаем равным 1.

Для первого луча:

$n_1 \sin \alpha_1 = n \sin \gamma_1$

Поскольку $n_1 = 1$, получаем:

$\sin \alpha_1 = n \sin \gamma_1$ (1)

Для второго луча:

$n_1 \sin \alpha_2 = n \sin \gamma_2$

$\sin \alpha_2 = n \sin \gamma_2$ (2)

Из условия задачи и рисунка следует, что падающие лучи взаимно перпендикулярны. Нормали к поверхности жидкости в точках падения лучей параллельны друг другу. Следовательно, сумма углов падения равна $90^\circ$.

$\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$

Из этого соотношения следует, что $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1$.

Используя формулу приведения, находим:

$\sin \alpha_2 = \sin(90^\circ - \alpha_1) = \cos \alpha_1$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$\cos \alpha_1 = n \sin \gamma_2$ (3)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($n$ и $\alpha_1$):

$\begin{cases} \sin \alpha_1 = n \sin \gamma_1 \\ \cos \alpha_1 = n \sin \gamma_2 \end{cases}$

Чтобы найти $n$, исключим угол $\alpha_1$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha_1 + \cos^2 \alpha_1 = 1$.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их:

$\sin^2 \alpha_1 + \cos^2 \alpha_1 = (n \sin \gamma_1)^2 + (n \sin \gamma_2)^2$

$1 = n^2 \sin^2 \gamma_1 + n^2 \sin^2 \gamma_2$

$1 = n^2 (\sin^2 \gamma_1 + \sin^2 \gamma_2)$

Выразим отсюда искомый показатель преломления $n$:

$n^2 = \frac{1}{\sin^2 \gamma_1 + \sin^2 \gamma_2}$

$n = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \gamma_1 + \sin^2 \gamma_2}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \gamma_1 + \sin^2 \gamma_2}}$

Подставим числовые значения данных из условия:

$n = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 30^\circ + \sin^2 26^\circ}}$

Выполним вычисления:

$\sin 30^\circ = 0.5$

$\sin 26^\circ \approx 0.4384$

$n = \frac{1}{\sqrt{(0.5)^2 + (0.4384)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.25 + 0.1922}} = \frac{1}{\sqrt{0.4422}} \approx \frac{1}{0.665} \approx 1.50$

Ответ: абсолютный показатель преломления жидкости приблизительно равен 1.50.