Номер 430, страница 133 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

430. Точечный источник света расположен на дне водоема глубиной $h = 0.6 \text{ м}$. В некоторой точке поверхности воды вышедший в воздух преломленный луч оказался перпендикулярным лучу, отраженному обратно в воду. Определите расстояние от источника света до точки дна, которой достигнет луч света, отраженный от поверхности воды.

Дано:

Глубина водоема: $ h = 0.6 $ м.

Среда 1 (где источник): вода, показатель преломления $ n_1 = 4/3 $.

Среда 2: воздух, показатель преломления $ n_2 \approx 1 $.

Преломленный и отраженный лучи перпендикулярны.

Найти:

$L$ — расстояние от источника света до точки на дне, которой достигнет отраженный луч.

Решение:

Пусть $ \alpha $ — угол падения светового луча на границу раздела вода-воздух. Согласно закону отражения, угол отражения также равен $ \alpha $. Пусть $ \beta $ — угол преломления луча, вышедшего в воздух. Все углы отсчитываются от нормали к поверхности.

По условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $ 90^\circ $.

Отраженный луч находится в воде, а преломленный — в воздухе. Угол между отраженным лучом и поверхностью воды равен $ 90^\circ - \alpha $. Угол между преломленным лучом и поверхностью воды равен $ 90^\circ - \beta $. Так как лучи находятся по разные стороны от поверхности, угол между ними можно найти как сумму этих углов:

$ (90^\circ - \alpha) + (90^\circ - \beta) = 180^\circ - (\alpha + \beta) $

Приравнивая это значение к $ 90^\circ $, получаем:

$ 180^\circ - (\alpha + \beta) = 90^\circ $

$ \alpha + \beta = 90^\circ $

Это условие известно как условие для угла Брюстера.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса):

$ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta $

Поскольку $ \beta = 90^\circ - \alpha $ и $ n_2 = 1 $, подставим эти значения в закон Снеллиуса:

$ n_1 \sin\alpha = 1 \cdot \sin(90^\circ - \alpha) $

Используя тригонометрическое тождество $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $, получаем:

$ n_1 \sin\alpha = \cos\alpha $

Отсюда находим тангенс угла падения:

$ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{n_1} $

Теперь рассмотрим геометрию задачи. Пусть луч света падает на поверхность воды в точке, находящейся на горизонтальном расстоянии $ x $ от вертикали, проходящей через источник. Из прямоугольного треугольника, образованного источником света, точкой на дне под точкой падения и самой точкой падения, следует:

$ \tan\alpha = \frac{x}{h} $

Приравнивая два выражения для $ \tan\alpha $, получаем:

$ \frac{x}{h} = \frac{1}{n_1} \implies x = \frac{h}{n_1} $

Отраженный от поверхности луч вернется на дно. В силу закона отражения (угол падения равен углу отражения), горизонтальное расстояние, которое пройдет отраженный луч до дна, также будет равно $ x $. Таким образом, искомое расстояние $L$ от источника до точки, где отраженный луч достигнет дна, равно сумме горизонтальных проекций путей падающего и отраженного лучей:

$ L = x + x = 2x = \frac{2h}{n_1} $

Подставим числовые значения:

$ L = \frac{2 \cdot 0.6 \text{ м}}{4/3} = \frac{1.2 \cdot 3}{4} = \frac{3.6}{4} = 0.9 \text{ м} $

Ответ: 0,9 м.