Номер 432, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

432. Пучок параллельных лучей света падает из воздуха под углом $\alpha = 60^\circ$ на стеклянную пластинку и преломляется в ней. Определите абсолютный показатель преломления стекла, если ширина пучка в воздухе в $k = 1,7$ раза меньше его ширины в стекле.

Дано:

Угол падения лучей на пластинку: $\alpha = 60°$

Соотношение ширин пучка: $d_2 = k \cdot d_1$, где $d_1$ - ширина пучка в воздухе, $d_2$ - ширина в стекле, а $k = 1,7$.

Показатель преломления воздуха: $n_1 \approx 1$.

Найти:

Абсолютный показатель преломления стекла: $n_2$.

Решение:

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) на границе раздела двух сред воздух-стекло:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления, $n_1$ — показатель преломления воздуха, $n_2$ — искомый показатель преломления стекла.

Поскольку свет падает из воздуха, принимаем $n_1 \approx 1$. Закон преломления принимает вид:

$\sin \alpha = n_2 \sin \beta \quad (1)$

Пусть пучок света освещает на поверхности стеклянной пластинки участок длиной $L$. Ширина пучка в среде определяется как длина проекции этого участка $L$ на плоскость, перпендикулярную направлению распространения лучей в этой среде.

Тогда ширина падающего пучка в воздухе $d_1$ равна:

$d_1 = L \cos \alpha$

Аналогично, ширина преломленного пучка в стекле $d_2$ равна:

$d_2 = L \cos \beta$

Из условия задачи известно, что ширина пучка в воздухе в $k$ раз меньше его ширины в стекле, что эквивалентно соотношению $d_2 = k \cdot d_1$.

Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$ в это соотношение:

$L \cos \beta = k \cdot (L \cos \alpha)$

Сократив $L$, получаем связь между углами падения и преломления:

$\cos \beta = k \cos \alpha \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $n_2$ и $\beta$. Решим ее относительно $n_2$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

Из уравнения (1) выразим $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n_2}$

Подставим выражения для $\sin \beta$ и $\cos \beta$ (из уравнения (2)) в тригонометрическое тождество:

$(\frac{\sin \alpha}{n_2})^2 + (k \cos \alpha)^2 = 1$

$\frac{\sin^2 \alpha}{n_2^2} + k^2 \cos^2 \alpha = 1$

Выразим из этого уравнения $n_2^2$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{n_2^2} = 1 - k^2 \cos^2 \alpha$

$n_2^2 = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - k^2 \cos^2 \alpha}$

Извлекая корень (показатель преломления — величина положительная), получаем итоговую формулу для $n_2$:

$n_2 = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - k^2 \cos^2 \alpha}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\alpha = 60° \implies \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60° = \frac{1}{2}$

$k = 1,7$

Произведем вычисления:

$n_2 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1 - (1,7)^2 \cdot (\frac{1}{2})^2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1 - \frac{2,89}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1 - 0,7225}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{0,2775}}$

$n_2 \approx \frac{0,8660}{0,5268} \approx 1,644$

Округляя результат до сотых, получаем:

$n_2 \approx 1,64$

Ответ: абсолютный показатель преломления стекла равен приблизительно 1,64.