Номер 437, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

437. На поверхность воды в бассейне падает луч света, который после преломления попадает на плоское зеркало, лежащее на горизонтальном дне бассейна. Абсолютный показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$. Луч падает под углом $\alpha$, причем $\sin \alpha = 0,80$. Определите глубину бассейна, если расстояние между точками входа луча в воду и выхода его из воды $d = 2,7$ м.

Дано:

Абсолютный показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$

Синус угла падения луча $\sin\alpha = 0,80$

Расстояние между точкой входа и выхода луча $d = 2,7$ м

Абсолютный показатель преломления воздуха $n_{воздуха} = 1$

Найти:

Глубину бассейна $H$.

Решение:

Сделаем схематический рисунок хода луча. Луч света падает из воздуха на поверхность воды под углом $\alpha$ к нормали. После преломления на границе воздух-вода луч распространяется в воде под углом $\beta$ к нормали, достигает горизонтального зеркала на дне, отражается от него и идет к поверхности воды. После второго преломления на границе вода-воздух луч выходит в воздух.

1. Найдем угол преломления $\beta$ с помощью закона Снеллиуса для границы воздух-вода:

$n_{воздуха} \cdot \sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

Поскольку $n_{воздуха} \approx 1$, имеем:

$\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

Выразим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{0,80}{4/3} = \frac{0,8 \cdot 3}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,6$

2. Рассмотрим геометрию пути луча в воде. Пусть $H$ – глубина бассейна. Расстояние $d$ между точкой входа луча в воду и точкой выхода складывается из двух одинаковых горизонтальных смещений луча: от поверхности до дна ($x_1$) и от дна до поверхности ($x_2$). Так как зеркало горизонтальное, по закону отражения (угол падения равен углу отражения) путь луча симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через точку отражения на дне. Следовательно, $x_1 = x_2$.

Общее расстояние $d = x_1 + x_2 = 2x_1$.

Из прямоугольного треугольника, образованного лучом в воде, нормалью и дном бассейна, можно выразить горизонтальное смещение $x_1$ через глубину $H$ и угол преломления $\beta$:

$\tan\beta = \frac{x_1}{H}$

Отсюда $x_1 = H \cdot \tan\beta$.

Подставим это в выражение для $d$:

$d = 2 \cdot H \cdot \tan\beta$

Выразим искомую глубину $H$:

$H = \frac{d}{2 \tan\beta}$

3. Найдем значение $\tan\beta$, зная, что $\sin\beta = 0,6$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$

Теперь найдем тангенс угла преломления:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75$

4. Подставим все известные значения в формулу для глубины $H$:

$H = \frac{2,7 \text{ м}}{2 \cdot 0,75} = \frac{2,7 \text{ м}}{1,5} = 1,8 \text{ м}$

Ответ: глубина бассейна составляет 1,8 м.