Номер 441, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

441. На поверхности озера глубиной $H = 2,0 \text{ м}$ плавает круглый непрозрачный плот радиусом $R = 3,0 \text{ м}$. Определите радиус тени от плота на дне озера при освещении воды рассеянным светом, падающим под различными углами.

Дано:

Глубина озера, $H = 2,0$ м

Радиус плота, $R = 3,0$ м

Показатель преломления воды, $n_в \approx 1,33$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} = 1$

Найти:

Радиус тени на дне, $R_{тени}$

Решение:

Тень на дне озера — это область, в которую не попадает свет. Поскольку свет рассеянный и падает под всеми возможными углами, граница тени будет определяться лучами, которые проходят в воду вблизи самого края плота. Самые "глубоко" проникающие под плот лучи — это те, которые падают на поверхность воды у края плота под максимальным углом, то есть почти горизонтально.

Максимальный угол падения луча на поверхность воды из воздуха составляет $\alpha = 90^\circ$. При преломлении такого луча на границе воздух-вода, угол преломления $\beta$ будет максимальным возможным. Найдем его из закона Снеллиуса:

$n_{возд} \sin \alpha = n_в \sin \beta$

Подставим значения для предельного случая:

$1 \cdot \sin(90^\circ) = n_в \sin \beta_{пр}$

$1 = n_в \sin \beta_{пр}$

Отсюда находим синус предельного угла преломления:

$\sin \beta_{пр} = \frac{1}{n_в}$

Луч света, вошедший в воду у края плота под этим углом, определит границу тени. Пройдя расстояние по глубине $H$, этот луч сместится по горизонтали на расстояние $\Delta r$ внутрь от проекции края плота. Из геометрии (прямоугольный треугольник, образованный глубиной $H$, горизонтальным смещением $\Delta r$ и путем луча) имеем:

$\Delta r = H \cdot \tan \beta_{пр}$

Радиус тени на дне $R_{тени}$ будет меньше радиуса плота $R$ на величину этого смещения:

$R_{тени} = R - \Delta r = R - H \cdot \tan \beta_{пр}$

Найдем $\tan \beta_{пр}$, зная $\sin \beta_{пр}$:

$\tan \beta_{пр} = \frac{\sin \beta_{пр}}{\cos \beta_{пр}} = \frac{\sin \beta_{пр}}{\sqrt{1 - \sin^2 \beta_{пр}}}$

Подставим выражение для $\sin \beta_{пр}$:

$\tan \beta_{пр} = \frac{1/n_в}{\sqrt{1 - (1/n_в)^2}} = \frac{1/n_в}{\sqrt{(n_в^2 - 1)/n_в^2}} = \frac{1}{\sqrt{n_в^2 - 1}}$

Теперь подставим это в формулу для радиуса тени:

$R_{тени} = R - \frac{H}{\sqrt{n_в^2 - 1}}$

Если бы $R$ было меньше, чем $H \cdot \tan \beta_{пр}$, то тени на дне не было бы вовсе. Проверим, что тень существует: $R > H \cdot \tan \beta_{пр}$.

Выполним вычисления:

$R_{тени} = 3,0 - \frac{2,0}{\sqrt{1,33^2 - 1}} = 3,0 - \frac{2,0}{\sqrt{1,7689 - 1}} = 3,0 - \frac{2,0}{\sqrt{0,7689}}$

$R_{тени} \approx 3,0 - \frac{2,0}{0,8769} \approx 3,0 - 2,28$ (м)

$R_{тени} \approx 0,72$ м

Так как $R > \Delta r$ ($3,0 > 2,28$), тень на дне существует.

Ответ: радиус тени от плота на дне озера равен приблизительно $0,72$ м.