Номер 439, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

439. В дно реки глубиной $H = 1,6$ м вертикально вбита свая, выступающая из воды на высоту $h = 80$ см. Свая освещается солнечным светом, падающим на поверхность воды под углом $\alpha = 30^\circ$. Определите длину тени от сваи на дне реки.

Дано

Глубина реки, $H = 1,6$ м

Высота сваи над водой, $h = 80$ см

Угол падения солнечных лучей на поверхность воды, $\alpha = 30^\circ$

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Показатель преломления воды, $n_2 = 4/3$

$h = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

Найти:

Длину тени от сваи на дне реки, $L$.

Решение

Тень от сваи на дне реки состоит из двух частей. Первая часть ($L_1$) — это тень, которую отбрасывает надводная часть сваи на поверхность воды. Вторая часть ($L_2$) образуется из-за преломления луча, прошедшего над верхушкой сваи, при его дальнейшем распространении в воде до дна. Общая длина тени $L$ равна сумме длин этих двух частей:

$L = L_1 + L_2$

1. Найдем длину тени $L_1$ от надводной части сваи. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота надводной части сваи $h$ и длина тени на поверхности $L_1$. Угол, противолежащий катету $h$, равен $\alpha$.

$\tan(\alpha) = \frac{h}{L_1}$

Отсюда находим $L_1$:

$L_1 = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cdot \cot(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$L_1 = 0,8 \text{ м} \cdot \cot(30^\circ) = 0,8 \cdot \sqrt{3} \approx 0,8 \cdot 1,732 \approx 1,386 \text{ м}$

2. Теперь найдем длину $L_2$. Когда солнечный луч входит в воду, он преломляется. Найдем угол преломления, используя закон Снеллиуса.

$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Здесь $\theta_1$ — угол падения (угол между лучом и нормалью к поверхности), а $\theta_2$ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью). Угол падения связан с данным углом $\alpha$ (угол между лучом и поверхностью) соотношением:

$\theta_1 = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Подставим значения в закон Снеллиуса:

$1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{4}{3} \sin(\theta_2)$

$\sin(\theta_2) = \frac{3}{4} \sin(60^\circ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Длина $L_2$ находится из другого прямоугольного треугольника, где катетами являются глубина реки $H$ и сама длина $L_2$. Угол, противолежащий катету $L_2$, — это угол преломления $\theta_2$.

$\tan(\theta_2) = \frac{L_2}{H}$

$L_2 = H \cdot \tan(\theta_2)$

Найдем $\tan(\theta_2)$, зная $\sin(\theta_2)$, по основному тригонометрическому тождеству:

$\tan(\theta_2) = \frac{\sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)} = \frac{\sin(\theta_2)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta_2)}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{3}}{8})^2}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{1 - \frac{27}{64}}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{\frac{37}{64}}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{37}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$

Теперь вычислим $L_2$:

$L_2 = 1,6 \text{ м} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}} = \frac{4,8\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx \frac{4,8 \cdot 1,732}{6,083} \approx 1,367 \text{ м}$

3. Найдем общую длину тени $L$:

$L = L_1 + L_2 \approx 1,386 \text{ м} + 1,367 \text{ м} \approx 2,753 \text{ м}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $2,75 \text{ м}$.