Номер 434, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

434. На верхнюю поверхность стеклянной плоскопараллельной пластинки падает луч света под углом $\alpha$. Луч частично проходит внутрь пластинки, затем отражается от нижней поверхности и выходит через верхнюю. Определите геометрический путь луча внутри пластинки. Толщина пластинки равна $h$. Абсолютный показатель преломления стекла равен $n$.

Дано:

Угол падения луча на пластинку: $α$

Толщина пластинки: $h$

Абсолютный показатель преломления стекла: $n$

Найти:

Геометрический путь луча внутри пластинки: $L$

Решение:

Когда луч света падает из воздуха (показатель преломления $n_1 \approx 1$) на поверхность стеклянной пластинки (показатель преломления $n$) под углом $α$ к нормали, он преломляется. Угол преломления $β$ определяется законом Снеллиуса:
$n_1 \sin{\alpha} = n \sin{\beta}$
Так как $n_1 = 1$, то:
$\sin{\alpha} = n \sin{\beta}$
Из этого соотношения мы можем выразить синус угла преломления:
$\sin{\beta} = \frac{\sin{\alpha}}{n}$

Внутри пластинки луч света движется по прямой до нижней поверхности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный путем луча (гипотенуза $L_1$), толщиной пластинки (катет $h$) и нормалью к поверхности. Угол между путем луча и нормалью равен углу преломления $β$.
Из этого треугольника можно найти длину пути $L_1$ от верхней до нижней поверхности:
$\cos{\beta} = \frac{h}{L_1}$
$L_1 = \frac{h}{\cos{\beta}}$

Достигнув нижней поверхности, луч отражается и движется к верхней поверхности. Путь луча после отражения ($L_2$) будет равен $L_1$ из-за симметрии (угол отражения равен углу падения, который также равен $β$).
Таким образом, полный геометрический путь $L$, пройденный лучом внутри пластинки, равен сумме путей вниз и вверх:
$L = L_1 + L_2 = 2L_1 = \frac{2h}{\cos{\beta}}$

Чтобы получить конечную формулу, выразим $\cos{\beta}$ через известные величины ($α$ и $n$). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} = 1$:
$\cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}}$
Подставим в это выражение $\sin{\beta} = \frac{\sin{\alpha}}{n}$:
$\cos{\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin{\alpha}}{n}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2{\alpha}}{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 - \sin^2{\alpha}}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2{\alpha}}}{n}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\cos{\beta}$ в формулу для пути $L$:
$L = \frac{2h}{\frac{\sqrt{n^2 - \sin^2{\alpha}}}{n}} = \frac{2hn}{\sqrt{n^2 - \sin^2{\alpha}}}$

Ответ: $L = \frac{2hn}{\sqrt{n^2 - \sin^2{\alpha}}}$.