Номер 433, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

433. На плоскопараллельную стеклянную пластинку, находящуюся в воздухе, под углом $ \alpha = 60^{\circ} $ падают два параллельных луча света, расстояние между которыми $ d_0 = 3,0 $ см. Абсолютный показатель преломления стекла $ n = 1,5 $. Определите расстояние между точками, в которых эти лучи выходят из пластинки.

Дано:

Угол падения лучей: $α = 60°$
Расстояние между падающими лучами: $d_0 = 3,0$ см
Показатель преломления стекла: $n = 1,5$

$d_0 = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между точками выхода лучей: $d$

Решение:

Пусть два параллельных луча света падают на первую поверхность плоскопараллельной пластинки в точках A и C, а выходят из второй, параллельной ей, поверхности в точках B и D соответственно. Требуется найти расстояние между точками выхода, то есть длину отрезка BD.

Согласно закону преломления Снеллиуса, $n_{1} \sin(α) = n_{2} \sin(β)$. Поскольку падающие лучи параллельны, угол падения $α$ для них одинаков. Следовательно, и угол преломления $β$ будет одинаковым. Это означает, что лучи внутри стеклянной пластинки также будут параллельны друг другу. Таким образом, путь первого луча внутри пластинки (отрезок AB) параллелен пути второго луча (отрезок CD).

Так как пластинка плоскопараллельная, ее поверхности параллельны. Точки входа A и C лежат на первой поверхности, а точки выхода B и D – на второй. Следовательно, отрезок AC параллелен отрезку BD.

Четырехугольник ACDB, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (AC || BD и AB || CD), является параллелограммом. В параллелограмме длины противоположных сторон равны. Значит, искомое расстояние BD равно расстоянию AC между точками входа лучей: $d = BD = AC$.

Найдем расстояние AC. Расстояние между параллельными падающими лучами $d_0$ является перпендикулярным расстоянием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком AC на поверхности, и перпендикуляром CH, опущенным из точки C на первый луч. Длина этого перпендикуляра равна $d_0$. Угол между падающим лучом и поверхностью равен $90° - α$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике (AHC): $\sin(90° - α) = \frac{CH}{AC} = \frac{d_0}{AC}$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90° - α) = \cos(α)$, получаем: $\cos(α) = \frac{d_0}{AC}$.

Отсюда выражаем искомое расстояние: $d = AC = \frac{d_0}{\cos(α)}$.

Заметим, что показатель преломления стекла $n$ не требуется для решения задачи и является избыточным данным.

Подставим числовые значения: $d = \frac{3,0 \text{ см}}{\cos(60°)} = \frac{3,0 \text{ см}}{0,5} = 6,0 \text{ см}$.

Ответ: 6,0 см.