Номер 431, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

431. Определите, во сколько раз ширина параллельного пучка света, распространяющегося в стеклянной пластинке, больше ширины этого пучка, вышедшего из пластинки в воздух под углом $\gamma = 45^\circ$. Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,8$.

Дано:

Угол выхода пучка света в воздух, $\gamma = 45^\circ$

Абсолютный показатель преломления стекла, $n = 1,8$

Абсолютный показатель преломления воздуха, $n_{в} \approx 1$

Найти:

Отношение ширины пучка в стекле ($d_{ст}$) к ширине пучка в воздухе ($d_{в}$), то есть $\frac{d_{ст}}{d_{в}}$.

Решение:

Обозначим ширину параллельного пучка света в стекле как $d_{ст}$, а в воздухе — как $d_{в}$. Пусть угол падения луча на границу раздела «стекло-воздух» изнутри стекла равен $\alpha$. Угол преломления в воздухе, согласно условию, равен $\gamma$.

Ширина пучка — это перпендикулярное расстояние между его крайними лучами. Свяжем ширину пучка в каждой среде с длиной $L$ участка границы раздела, который пересекает пучок. Из геометрии следует:

$d_{ст} = L \cdot \cos{\alpha}$

$d_{в} = L \cdot \cos{\gamma}$

Искомое отношение ширин равно:

$\frac{d_{ст}}{d_{в}} = \frac{L \cdot \cos{\alpha}}{L \cdot \cos{\gamma}} = \frac{\cos{\alpha}}{\cos{\gamma}}$

Чтобы найти угол $\alpha$, применим закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n \cdot \sin{\alpha} = n_{в} \cdot \sin{\gamma}$

Так как $n_{в} \approx 1$, получаем:

$n \cdot \sin{\alpha} = \sin{\gamma}$

Отсюда выражаем синус угла падения:

$\sin{\alpha} = \frac{\sin{\gamma}}{n}$

Для нахождения отношения ширин нам нужен $\cos{\alpha}$. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$:

$\cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin{\gamma}}{n}\right)^2}$

Подставим это выражение в формулу для отношения ширин:

$\frac{d_{ст}}{d_{в}} = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{\sin{\gamma}}{n}\right)^2}}{\cos{\gamma}}$

Теперь подставим числовые значения из условия: $\gamma = 45^\circ$, $n = 1,8$.

$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$

$\frac{d_{ст}}{d_{в}} = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{\sin{45^\circ}}{1,8}\right)^2}}{\cos{45^\circ}} \approx \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{0,707}{1,8}\right)^2}}{0,707} \approx \frac{\sqrt{1 - (0,3928)^2}}{0,707}$

$\frac{d_{ст}}{d_{в}} \approx \frac{\sqrt{1 - 0,1543}}{0,707} = \frac{\sqrt{0,8457}}{0,707} \approx \frac{0,9196}{0,707} \approx 1,3$

Ответ: Ширина параллельного пучка света в стеклянной пластинке больше ширины этого пучка, вышедшего в воздух, в 1,3 раза.