Номер 438, страница 135 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

438. На дне водоема установлен вертикальный столб высотой $H$, полностью погруженный в воду. Определите длину тени от столба на горизонтальном дне, если угловая высота Солнца над горизонтом равна $\varphi$. Абсолютный показатель преломления воды равен $n$.

439.

Дано:

Высота столба: $H$

Угловая высота Солнца над горизонтом: $\phi$

Абсолютный показатель преломления воды: $n$

Найти:

Длину тени от столба: $L$

Решение:

Солнечные лучи падают на поверхность воды под углом $\phi$ к горизонту. Угол падения лучей на границу раздела двух сред (воздух-вода) определяется как угол между падающим лучом и нормалью к поверхности. Поскольку поверхность воды горизонтальна, нормаль к ней вертикальна. Следовательно, угол падения $\alpha$ связан с угловой высотой Солнца $\phi$ соотношением: $\alpha = 90^\circ - \phi$.

При переходе из воздуха в воду световой луч преломляется в соответствии с законом Снеллиуса:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$,

где $n_1$ – показатель преломления воздуха ($n_1 \approx 1$), $n_2 = n$ – показатель преломления воды, $\alpha$ – угол падения, $\beta$ – угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью).

Подставим известные значения в закон преломления:

$1 \cdot \sin(90^\circ - \phi) = n \cdot \sin\beta$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем:

$\cos\phi = n \sin\beta$

Из этого уравнения можно выразить синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{\cos\phi}{n}$

Тень на дне водоема образуется преломленным лучом, прошедшим через вершину столба. Этот луч, столб высотой $H$ и его тень длиной $L$ на горизонтальном дне образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике столб является катетом, противолежащим углу $\beta$ (так как столб вертикален, а угол $\beta$ отсчитывается от вертикальной нормали). Длина тени $L$ — это прилежащий катет. Ой, нет, наоборот. Столб $H$ является прилежащим катетом к углу $\beta$, а тень $L$ - противолежащим катетом. Поэтому отношение между ними выражается через тангенс угла $\beta$:

$\tan\beta = \frac{L}{H}$

Отсюда длина тени равна:

$L = H \tan\beta$

Чтобы найти $L$, необходимо выразить $\tan\beta$ через известные величины. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, найдем $\cos\beta$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\cos\phi}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - \cos^2\phi}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \cos^2\phi}}{n}$

Теперь найдем тангенс угла преломления, используя соотношение $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:

$\tan\beta = \frac{\frac{\cos\phi}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 - \cos^2\phi}}{n}} = \frac{\cos\phi}{\sqrt{n^2 - \cos^2\phi}}$

Наконец, подставляем полученное выражение для $\tan\beta$ в формулу для длины тени $L$:

$L = H \cdot \frac{\cos\phi}{\sqrt{n^2 - \cos^2\phi}}$

Ответ: Длина тени от столба на горизонтальном дне равна $L = H \frac{\cos\phi}{\sqrt{n^2 - \cos^2\phi}}$.