Номер 442, страница 136 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

442. Широкий непрозрачный сосуд доверху наполнен жидкостью с показателем преломления $n = 1,25$. Поверхность жидкости закрыта тонкой непрозрачной пластиной, в центре которой имеется отверстие радиусом $R = 10 \text{ см}$. Сосуд освещается рассеянным светом, падающим под различными углами на поверхность жидкости. Определите диаметр светлого пятна на дне сосуда, если толщина слоя жидкости $h = 12 \text{ см}$.

Дано:
Показатель преломления жидкости, $n = 1,25$
Радиус отверстия, $R = 10$ см
Толщина слоя жидкости, $h = 12$ см

Найти:
Диаметр светлого пятна на дне сосуда, $D$

Решение:

Светлое пятно на дне сосуда образуется светом, прошедшим через круглое отверстие в непрозрачной пластине. Поскольку сосуд освещается рассеянным светом, лучи падают на поверхность жидкости под всевозможными углами. Размер светлого пятна на дне определяется крайними лучами.

Самые дальние от центра точки пятна будут созданы лучами, которые падают на самый край отверстия ($r = R$) под максимально возможным углом падения. Максимальный угол падения луча из воздуха в жидкость составляет $\alpha_{max} = 90^\circ$ (так называемый скользящий луч, параллельный поверхности).

Для определения угла преломления $\beta$ для такого луча воспользуемся законом Снеллиуса:
$n_{1} \sin\alpha = n_{2} \sin\beta$
где $n_1$ — показатель преломления воздуха ($n_1 \approx 1$), а $n_2 = n$ — показатель преломления жидкости.

Подставим значения для нашего крайнего случая:
$1 \cdot \sin(90^\circ) = n \cdot \sin\beta_{max}$
$1 = n \sin\beta_{max}$
Отсюда синус максимального угла преломления равен:
$\sin\beta_{max} = \frac{1}{n}$

Рассмотрим геометрию. Преломленный луч, идущий от края отверстия к дну, образует прямоугольный треугольник. Одним катетом этого треугольника является глубина жидкости $h$, а вторым катетом — горизонтальное смещение луча $x$ от вертикали, проходящей через край отверстия. Угол между преломленным лучом и вертикалью (нормалью) равен $\beta_{max}$.

Из этого треугольника можно найти тангенс угла преломления:
$\tan\beta_{max} = \frac{x}{h}$
Соответственно, дополнительное смещение луча: $x = h \cdot \tan\beta_{max}$.

Выразим тангенс через синус, используя основное тригонометрическое тождество $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta}$:
$\tan\beta_{max} = \frac{\sin\beta_{max}}{\cos\beta_{max}} = \frac{\sin\beta_{max}}{\sqrt{1 - \sin^2\beta_{max}}}$

Подставим $\sin\beta_{max} = \frac{1}{n}$:
$\tan\beta_{max} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - (1/n)^2}} = \frac{1/n}{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}} = \frac{1/n}{\frac{\sqrt{n^2-1}}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Теперь найдем величину смещения $x$:
$x = h \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} = \frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$

Радиус светлого пятна на дне $R_{пятна}$ равен сумме радиуса отверстия $R$ и дополнительного смещения $x$:
$R_{пятна} = R + x = R + \frac{h}{\sqrt{n^2-1}}$

Диаметр пятна $D$ равен удвоенному радиусу:
$D = 2 R_{пятна} = 2 \left( R + \frac{h}{\sqrt{n^2-1}} \right)$

Произведем вычисления, подставив исходные данные:
$\sqrt{n^2-1} = \sqrt{1,25^2 - 1} = \sqrt{1,5625 - 1} = \sqrt{0,5625} = 0,75$

Теперь вычислим диаметр $D$ (можно использовать значения в сантиметрах):
$D = 2 \left( 10 \text{ см} + \frac{12 \text{ см}}{0,75} \right) = 2 \left( 10 \text{ см} + 16 \text{ см} \right) = 2 \cdot 26 \text{ см} = 52 \text{ см}$

Ответ: Диаметр светлого пятна на дне сосуда равен 52 см.